परिवर्तनशीलता का मापन: एक अवलोकन
परिवर्तनशीलता का मापन: एक अवलोकन!
भिन्नता का अर्थ:
भिन्नता का अर्थ है 'स्कैटर' या 'स्प्रेड'। इस प्रकार परिवर्तनशीलता के उपाय उनकी केंद्रीय प्रवृत्ति के आसपास स्कोर के बिखराव या प्रसार को संदर्भित करते हैं। परिवर्तनशीलता के उपायों से संकेत मिलता है कि वितरण केंद्रीय निविदा के ऊपर और नीचे कैसे बिखरेगा।
निम्नलिखित उदाहरण से हम परिवर्तनशीलता के उपायों की अवधारणा के बारे में स्पष्ट विचार प्राप्त कर सकते हैं:
मान लीजिए, दो समूह हैं। एक समूह में 50 लड़के हैं और दूसरे समूह में 50 लड़कियां हैं। इन दोनों समूहों को एक परीक्षण दिया जाता है। लड़कों का औसत स्कोर 54.4 है और लड़कियां हैं कि हम दोनों समूहों के औसत स्कोर की तुलना करते हैं, हम पाते हैं कि दोनों समूहों के प्रदर्शन में कोई अंतर नहीं है। लेकिन मान लीजिए कि लड़कों का स्कोर 20 से 80 तक और लड़कियों का स्कोर 40 से 60 के बीच पाया जाता है।
रेंज में यह अंतर दर्शाता है कि लड़के अधिक परिवर्तनशील हैं, क्योंकि वे लड़कियों की तुलना में अधिक क्षेत्र को कवर करते हैं। यदि समूह में व्यापक रूप से भिन्न क्षमता वाले व्यक्ति होते हैं, तो स्कोर उच्च से निम्न स्तर पर बिखरे होंगे, सीमा अपेक्षाकृत व्यापक होगी और परिवर्तनशीलता बड़ी होगी।
इस स्थिति का चित्रण नीचे दिए गए आंकड़ों में किया जा सकता है:
उपरोक्त आंकड़ा कुछ क्षेत्र (एन) और कुछ माध्य (50) के दो आवृत्ति वितरण को दिखाता है लेकिन बहुत भिन्नता का है। ग्रुप ए में 20 से 80 और ग्रुप बी में 40 से 60 तक ग्रुप ए है, जो ग्रुप-बी-स्प्रेड के रूप में तीन गुना है, स्कोर के पैमाने पर तीन गुना से अधिक है-हालांकि दोनों डिस्ट्रीब्यूशन में कुछ केंद्रीय प्रवृत्ति है।
परिवर्तनशीलता की परिभाषाएँ:
डिक्शनरी ऑफ एजुकेशन- सीवी गुड। "केंद्रीय प्रवृत्ति के कुछ माप के बारे में वितरण के अवलोकनों की बिखराव या परिवर्तनशीलता।" सांख्यिकी के कोलिन्स शब्दकोश: "फैलाव एक वितरण का प्रसार है"
अल बोले:
"फैलाव वस्तुओं की भिन्नता का माप है।"
ब्रूक्स और डिक्स:
"फैलाव या प्रसार केंद्रीय मूल्य के बारे में चर के बिखराव या भिन्नता की डिग्री है।" इस प्रकार संपत्ति जो केंद्रीय मूल्यों के बारे में मूल्यों को फैलाया जाता है उसे फैलाव कहा जाता है। यह वितरण की वस्तुओं के आकार में एकरूपता की कमी को भी इंगित करता है।
भिन्नता की आवश्यकता:
1. विचलन के उपायों के रूप में मदद करता है:
परिवर्तनशीलता के उपाय हमें विचलन की डिग्री को मापने में मदद करते हैं, जो डेटा में मौजूद हैं। इसके द्वारा वह सीमा निर्धारित की जा सकती है जिसके भीतर डेटा कुछ औसत दर्जे की विविधता या गुणवत्ता में नौसेना होगा।
2. यह विभिन्न समूह की तुलना करने में मदद करता है:
वैधता के उपायों की मदद से हम विभिन्न इकाइयों में व्यक्त मूल डेटा की तुलना कर सकते हैं।
3. यह केंद्रीय प्रवृत्ति के उपायों द्वारा प्रदान की गई जानकारी के पूरक के लिए उपयोगी है।
4. फैलाव के उपायों के आधार पर आगे के अग्रिम आंकड़ों की गणना करना उपयोगी है।
परिवर्तनशीलता के उपाय:
परिवर्तनशीलता के चार उपाय हैं:
1. द रेंज
2. चतुर्थक विचलन
3. औसत विचलन
4. मानक विचलन
य़े हैं:
1. रेंज:
श्रेणी एक श्रृंखला के बीच का अंतर है। यह प्रसार या बिखराव का सबसे सामान्य उपाय है। यह किस्मों की परिवर्तनशीलता या आपस में अवलोकन का एक उपाय है और कुछ केंद्रीय मूल्य के आस-पास के अवलोकन के प्रसार के बारे में एक विचार नहीं देता है।
रेंज = एच-एल
यहाँ H = उच्चतम स्कोर
एल = सबसे कम स्कोर
उदाहरण:
एक कक्षा में, 20 छात्रों ने निम्नलिखित अंक प्राप्त किए हैं:
22, 48, 43, 60, 55, 25, 15, 45, 35, 68, 50, 70, 35, 40, 42, 48, 53, 44, 55, 52
यहाँ - उच्चतम स्कोर 70 है
सबसे कम स्कोर 15 है
रेंज = एच - एल = 70 –15 = 55
यदि सीमा समूह से अधिक है, तो अधिक विषमता को इंगित करता है और यदि समूह समूह से कम है तो अधिक समरूपता का संकेत देता है। इस प्रकार रेंज हमें वितरण की परिवर्तनशीलता का एक त्वरित और मोटा संकेत प्रदान करती है।
रेंज की योग्यता:
1. रेंज आसानी से गणना की जाती है और आसानी से समझ में आती है।
2. यह परिवर्तनशीलता का सबसे सरल उपाय है।
3. यह परिवर्तनशीलता के माप का एक त्वरित अनुमान प्रदान करता है।
रेंज के डेमिरिट्स:
1. स्कोर के उतार-चढ़ाव से सीमा बहुत प्रभावित होती है।
2. यह श्रृंखला के सभी अवलोकनों पर आधारित नहीं है। यह केवल खाते में उच्चतम और निम्नतम स्कोर लेता है।
3. ओपन एंडेड डिस्ट्रीब्यूशन रेंज के मामले में इस्तेमाल नहीं किया जा सकता है।
4. नमूने में उतार-चढ़ाव से यह बहुत प्रभावित होता है।
5. यह अत्यधिक स्कोर से प्रभावित होता है।
6. श्रृंखला वास्तव में सीमा द्वारा प्रतिनिधित्व नहीं करती है। एक सममित और एक सममित वितरण में समान सीमा हो सकती है लेकिन समान फैलाव नहीं।
रेंज का उपयोग:
1. रेंज का उपयोग फैलाव के माप के रूप में किया जाता है जब चर के मूल्य में भिन्नताएं अधिक नहीं होती हैं।
2. रेंज परिवर्तनशीलता का सबसे अच्छा उपाय है जब डेटा बहुत बिखरे हुए या बहुत कम होते हैं।
3. रेंज का उपयोग तब किया जाता है जब चरम स्कोर या कुल प्रसार का ज्ञान चाहता है।
4. जब परिवर्तनशीलता का त्वरित अनुमान होता है तो रेंज का उपयोग किया जाता है।
2. चतुर्थक विचलन (Q):
सीमा से आगे चतुर्थक विचलन परिवर्तनशीलता का एक और उपाय है। यह किसी दिए गए वितरण में मध्य पचास प्रतिशत मामलों वाले अंतराल पर आधारित है। एक चौथाई का मतलब 1 / 4th का कुछ है, जब एक पैमाने को चार बराबर भागों में विभाजित किया जाता है। "चतुर्थक विचलन या Q एक आवृत्ति वितरण में 75t और 25 वें प्रतिशत के बीच की दूरी का आधा हिस्सा है।"
9.2 के आंकड़े से हमने पाया कि 1 चतुर्थक या क्यू 1 एक वितरण में स्थिति है जिसके नीचे 25% मामले हैं, और ऊपर 75% मामले झूठ हैं। दूसरा चतुर्थक या Q2 नीचे और ऊपर एक स्थिति है, जिसमें 50% मामले झूठ बोलते हैं। यह वितरण का माध्यिका है।
तीसरा चतुर्थक या Qg 75 वाँ प्रतिशतक है, जिसके नीचे 75% मामले हैं और इसके ऊपर 25% मामले हैं। तो चतुर्थक विचलन (क्यू) 3 चतुर्थक (क्यू 3 ) और 1 चतुर्थक (क्यू 1 ) के बीच की दूरी का आधा है। इसे सेमी-इंटरक्वेर्टाइल रेज के रूप में भी जाना जाता है।
प्रतीकात्मक:
इसलिए पहले चतुर्थक विचलन की गणना करने के लिए सबसे पहले हमें 1 चतुर्थक (क्यू 1 ) और 3 चतुर्थक (क्यू 3 ) की गणना करनी होगी
जहाँ = एल = 1 चतुर्थक वर्ग की निचली सीमा,
प्रथम चतुर्थांश वर्ग वह वर्ग है, जिसकी संचयी आवृत्ति N / 4 के मान से अधिक होती है, यदि इसकी गणना निचले सिरे से की जाती है।
एन / 4 = मामलों की कुल संख्या का एक चौथाई।
F = वर्ग अंतराल की संचयी आवृत्ति
प्रथम चतुर्थांश वर्ग।
Fq 1 = Q 1 वर्ग की आवृत्ति
i = वर्ग अंतराल का आकार 3N
कहाँ: एल = 3 चतुर्थक वर्ग की निचली सीमा
तीसरा चतुर्थक वर्ग वह वर्ग है जिसकी संचयी आवृत्ति (C f ) 3N / 4 अर्थात Cf> 3N / 4 के मान से अधिक होती है, जब Cf की गणना निचले सिरे से की जाती है।
3 एन / 4 = of एन या कुल मामलों की 75% संख्या।
F = कक्षा के नीचे वर्ग की संचयी आवृत्ति।
fq 2 = Q 3 वर्ग की आवृत्ति।
i = वर्ग अंतराल का आकार।
समूह डेटा से चतुर्थक की गणना:
उदाहरण:
निम्नलिखित डेटा के चतुर्थांश विचलन का पता लगाएं:
चतुर्थक विचलन की गणना करने के लिए कदम:
चरण 1:
गणना N / 4 यानी वितरण का 25% और 3N / 4 अर्थात वितरण का 75%।
यहाँ -N = 50 तो N / 4 = 12.5
और 3 एन / 4 = 37.5
चरण 2:
निचले सिरे से C f की गणना करें। तालिका- 9.1 कॉलम -3 में के रूप में।
चरण 3:
Q 1 और Q 3 वर्ग ज्ञात कीजिए।
इस उदाहरण में:
सी, 60-64 क्यू 1 वर्ग है क्योंकि सी एफ > एन / 4
सीआई 75-79 क्यू 3 वर्ग है क्योंकि
सीएफ> 3 एन / 4
चरण 4:
क्यू 1 वर्ग और क्यू 3 वर्ग के लिए एफ का पता लगाएं। इस उदाहरण में
क्यू 1 वर्ग = 10 के लिए एफ
Q3 वर्ग = 30 चरण के लिए एफ
चरण 5:
उपरोक्त मानों को सूत्र में रखकर Q1 ज्ञात कीजिए।
Q 1 = L + N / 4 - F / fq1 xi
यहाँ L = 59.5 क्योंकि Q 1 वर्ग 60-64 की सटीक सीमा 59.5-64.5 है।
F = 10 Q 1 वर्ग के नीचे Cf
Fq 1 = 4: Q 1 वर्ग की सटीक आवृत्ति
i = 5, वर्ग अंतराल का आकार
एन / 4 = 12.5
अब क्यू 1 = 59.5+ 12.5-10 / 4 x 5
= 59.5 + 2.5 / 4 x 5
= 59.5 + 0.63 x 5
= 59.5 + 3.13 = 62.63
चरण 6:
मान 3 को सूत्र में रखकर Q 3 ज्ञात कीजिए।
यहाँ L = 74.5 क्योंकि Q 3 वर्ग 75-79 की सटीक सीमा 74.5-79.5 है।
F = 30 Q 3 वर्ग से नीचे Cf है।
3 एन / 4 = 37.5
Fq 1 = 8 Q 3 वर्ग की सटीक आवृत्ति।
i = वर्ग अंतराल के 5 आकार।
क्यू 3 = 74.5 + 37.5-30 / 8 x 5
= 74.5 + 7.5 / 8 x 5 = 74.5 + .94 x 5
= 74.5 + 4.7 = 79.2
चरण 7:
उपरोक्त मान को सूत्र में रखकर Q ज्ञात कीजिए।
Q = Q 3 -Q 1/2 = 79.2 - 62.63 / 2
= 16.5 / 2 = 8.285 = 8.29
चतुर्थक विचलन के गुण:
1. चतुर्थक विचलन गणना करने के लिए सरल और समझने में आसान है।
2. यह सीमा से अधिक प्रतिनिधि और विश्वास योग्य है। खुले अंत वर्ग अंतराल के मामले में इसका उपयोग फैलाव के उपायों का अध्ययन करने में किया जाता है।
3. खुले अंत वर्ग अंतराल के मामले में इसका उपयोग फैलाव के उपायों का अध्ययन करने में किया जाता है।
4. यह वितरण के मध्य में स्कोर घनत्व का एक अच्छा सूचकांक है।
5. जब हम मेडियन को उस समय केंद्रीय प्रवृत्ति के माप के रूप में लेते हैं तो क्यू को फैलाव के माप के रूप में पसंद किया जाता है।
6. सीमा की तरह यह अत्यधिक स्कोर से प्रभावित नहीं है।
चतुर्थक विचलन के अवगुण:
1. यह डेटा के सभी अवलोकनों पर आधारित नहीं है। यह पहले 25% और अंतिम 25% अंकों की अनदेखी करता है।
2. क्यू के मामले में आगे बीजीय उपचार संभव नहीं है। यह केवल एक स्थितिगत औसत है। यह किसी भी औसत से एक चर के मूल्यों की भिन्नता का अध्ययन नहीं करता है। यह केवल एक पैमाने पर दूरी को इंगित करता है।
3. यह स्कोर के उतार-चढ़ाव से प्रभावित होता है। एकल अंक के मूल्य में परिवर्तन से इसका मूल्य किसी भी मामले में प्रभावित होता है।
4. क्यू फैलाव का एक उपयुक्त उपाय नहीं है, जब एक श्रृंखला में विभिन्न स्कोर के मूल्यों में काफी भिन्नता होती है।
चतुर्थक विचलन के उपयोग:
1. जब मेडियन उस समय केंद्रीय प्रवृत्ति का माप होता है तो क्यू का उपयोग फैलाव के माप के रूप में किया जाता है।
2. जब चरम स्कोर एसडी को प्रभावित करते हैं या उस समय स्कोर बिखरे हुए होते हैं तो क्यू को परिवर्तनशीलता के माप के रूप में उपयोग किया जाता है।
3. जब हमारा प्राथमिक हित मध्य-मध्य के 50% मामलों में एकाग्रता को जानना हो, उस समय Q का उपयोग किया जाता है।
4. जब वर्ग अंतराल खुले होते हैं, तो क्यू का उपयोग फैलाव के माप के रूप में किया जाता है।
3. औसत विचलन (AD):
हमने दो परिवर्तनशीलता, सीमा और चतुर्थक विचलन के बारे में चर्चा की है। लेकिन इनमें से कोई भी फैलाव वितरण की संरचना के बारे में संकेत नहीं देता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि दोनों फैलाव सभी व्यक्तिगत स्कोर को ध्यान में नहीं रखते हैं। हम औसत विचलन या माध्य विचलन नामक एक अन्य फैलाव का उपयोग करके सीमा और चतुर्थक विचलन की कुछ गंभीर कमियों को दूर कर सकते हैं।
"औसत विचलन विचलन के संकेत के संबंध के बिना स्कोर के औसत मूल्य से विभिन्न स्कोर के सभी विचलन का अंकगणितीय माध्य है।"
इस प्रकार केंद्रीय प्रवृत्ति के कुछ माप से गणना की गई श्रृंखला के विचलन का औसत विचलन एस अंकगणितीय माध्य है। तो औसत विचलन उनके मतलब (कभी-कभी मेडियन और मोड से) से लिए गए विचलन का मतलब है।
परिभाषाएं:
कोलिन्स सांख्यिकी के शब्दकोश:
"औसत विचलन एक चर के मूल्यों और इसके वितरण के बीच के अंतर के पूर्ण मूल्यों का मतलब है।"
शिक्षा का शब्दकोश, सीवी अच्छा:
"औसत राशि को व्यक्त करने वाला एक मापक जिसके द्वारा वितरण में अलग-अलग वस्तुएं मध्य प्रवृत्ति के मापक से होती हैं जैसे कि माध्यिका का अर्थ।"
वह गैरेट:
"औसत विचलन या AD उनके मतलब से ली गई श्रृंखला में सभी अलग-अलग अंकों के विचलन का मतलब है (कभी-कभी मेडियन या मोड से)।"
इस प्रकार यह कहा जा सकता है कि औसत विचलन या माध्य विचलन जैसा कि इसे कहा जाता है, सभी अंकों के विचलन का माध्यम है।
किसी भी खाते में संकेतों और सभी विचलन का ध्यान नहीं रखा जाता है, चाहे वे + या-को सकारात्मक माना जाता है।
जहाँ AD = औसत विचलन
£ = पूंजी सिग्मा, कुल योग का मतलब है
II = शॉर्ट मॉड में मोडुलस का अर्थ है, नकारात्मक चिन्ह के प्रति कोई सम्मान नहीं।
x = विचलन, (X- M)
औसत विचलन की गणना:
कंप्यूटिंग के औसत विचलन के लिए दो स्थितियाँ हैं:
(ए) जब डेटा अनियंत्रित होते हैं।
(b) जब डेटा को समूहीकृत किया जाता है।
अप्रयुक्त डेटा से AD की गणना।
उदाहरण:
नीचे दिए गए निम्नलिखित 10 अंकों में से AD खोजें:
23, 34, 16, 27, 28, 39, 45, 26, 18, 27
उपाय:
चरण 1:
सूत्र के साथ प्राप्तांकों का अर्थ ज्ञात करें
ΣX / एन
चरण 2:
सभी अंकों के विचलन को स्कोर से माध्य घटाते हुए पता करें।
चरण 3:
तालिका-9.2 में दिखाए अनुसार पूर्ण विचलन का पता लगाएं और फिर x | x |
चरण 4:
मूल्यों को सूत्र में रखें।
AD = 7.58।
समूहीकृत डेटा से AD की गणना:
उदाहरण:
निम्नलिखित डेटा का AD ज्ञात कीजिए:
समाधान :
चरण 1:
वितरण का अर्थ ज्ञात कीजिए।
मीन = 70.80
चरण 2:
प्रत्येक वर्ग के अंतराल के लिए मध्य बिंदु का पता लगाएं। जैसा कि तालिका के कॉलम -3 में है -9.3
चरण 3:
मध्यबिंदु (X) से माध्य घटाकर x ज्ञात कीजिए। तालिका- 9.3 के कॉलम -5 में दिखाया गया है।
चरण 4:
पूर्ण विचलन का पता लगाएं या | x | ऊपर कॉलम -6 के रूप में।
कदम 5:
पता करो | च x | के साथ गुणा करके x | x जैसा कि कॉलम -7 में दिखाया गया है और पता करें 7 | च x |
कदम 6:
उपरोक्त मूल्यों को सूत्र में रखें।
समूहीकृत डेटा से AD के लिए सूत्र
जहाँ = AD = औसत विचलन
Sum = कुल योग
च = आवृत्ति
x = विचलन अर्थात (X-M)
एन = मामलों की कुल संख्या यानी। एफ ।
मूल्यों को सूत्र में बांधना
विज्ञापन के गुण:
1. औसत विचलन सख्ती से परिभाषित किया गया है और इसका मूल्य सटीक और निश्चित है।
2. गणना करना आसान है।
3. इसे समझना आसान है। क्योंकि यह केंद्रीय प्रवृत्ति के माप से विचलन का औसत है।
4. यह सभी अवलोकनों पर आधारित है।
5. यह चरम स्कोर के मूल्य से कम प्रभावित होता है।
AD के डेमिरिट्स:
1. औसत विचलन के साथ सबसे गंभीर दोष यह है कि यह विचलन के बीजगणितीय संकेतों की उपेक्षा करता है जो कि गणित के मूलभूत नियमों के विरुद्ध है।
2. एडी के मामले में आगे बीजीय उपचार संभव नहीं है।
3. इसका उपयोग बहुत ही कम किया जाता है। मानक विचलन के कारण आम तौर पर फैलाव के माप के रूप में उपयोग किया जाता है।
4. जब मोड AD से गणना की जाती है तो फैलाव का सटीक माप नहीं मिलता है।
औसत विचलन के उपयोग:
1. औसत विचलन का उपयोग तब किया जाता है जब यह अपने आकार के अनुसार सभी विचलन को वजन करने के लिए वांछित होता है।
2. जब चरम स्कोर उस समय मानक विचलन को प्रभावित करता है तो AD फैलाव का सबसे अच्छा उपाय है।
3. AD का उपयोग तब किया जाता है जब हम इस बात को जानना चाहते हैं कि उपाय किस हद तक दोनों तरफ फैले हुए हैं।
4. मानक विचलन (एसडी):
हमने परिवर्तनीयता, श्रेणी, चतुर्थक विचलन और औसत विचलन के तीन उपायों पर चर्चा की है। हमने यह भी पाया कि ये सभी गंभीर कमियों से पीड़ित हैं।
रेंज केवल उच्चतम स्कोर और सबसे कम स्कोर को ध्यान में रखते हुए ली गई है। चतुर्थांश विचलन केवल 50% अंकों के मध्य को ध्यान में रखता है और औसत विचलन के मामले में हम संकेतों को अनदेखा करते हैं।
इसलिए इन सभी कठिनाइयों को दूर करने के लिए हम फैलाव के एक अन्य उपाय का उपयोग करते हैं जिसे मानक विचलन कहा जाता है। यह आमतौर पर प्रयोगात्मक अनुसंधान में उपयोग किया जाता है क्योंकि यह परिवर्तनशीलता का सबसे स्थिर सूचकांक है। प्रतीकात्मक रूप से इसे σ (ग्रीक छोटा अक्षर सिग्मा) के रूप में लिखा जाता है।
परिभाषाएं:
कोलिन की शब्दकोश सांख्यिकी।
“मानक विचलन प्रसार या फैलाव का एक उपाय है। यह मूल मतलब चुकता विचलन है। ”
डिक्शनरी ऑफ एजुकेशन- सीवी गुड।
"वितरण के माध्यम से स्कोर के वर्ग विचलन के माध्य के वर्गमूल से मिलकर, परिवर्तनशीलता का एक व्यापक रूप से उपयोग किया गया उपाय।"
मानक विचलन उनके अंकगणितीय माध्य से अंकों के वर्ग विचलन के औसत मूल्य का वर्गमूल है।
एसडी की गणना प्रत्येक माप के वर्ग विचलन को जोड़कर की जाती है, मामलों की संख्या से विभाजित और वर्गमूल निकालने के द्वारा। अधिक स्पष्ट होने के लिए, हमें यहां ध्यान देना चाहिए कि एसडी में हम सभी विचलन को अलग-अलग वर्ग करते हैं, उनकी राशि पाते हैं, योग को कुल अंकों से विभाजित करते हैं और फिर वर्ग विचलन के माध्य का वर्गमूल ज्ञात करते हैं। ताकि इसे 'मूल माध्य वर्ग विचलन' भी कहा जाए।
मानक विचलन के वर्ग को वेरियनस (। 2 ) कहा जाता है। इसे माध्य वर्ग विचलन के रूप में जाना जाता है। इसे दूसरे पल का फैलाव भी कहा जाता है।
अनग्रुप्ड डेटा से एसडी की गणना:
उदाहरण:
निम्नलिखित डेटा के एसडी का पता लगाएं:
6, 8, 10, 12, 5, 8, 9, 17, 20, 11।
उपाय:
चरण 1:
प्राप्तांकों का अर्थ ज्ञात कीजिए।
चरण 2:
प्रत्येक अंक का विचलन (x) ज्ञात कीजिए।
समूहीकृत डेटा से एसडी की गणना:
समूहीकृत डेटा में एसडी की गणना दो तरीकों से की जा सकती है:
1. प्रत्यक्ष विधि या लंबी विधि
2. लघु विधि या मान लिया गया विधि विधि
1. प्रत्यक्ष विधि या लंबी विधि:
उदाहरण:
निम्नलिखित वितरण के एसडी का पता लगाएं:
उपाय:
चरण 1:
प्रत्येक वर्ग अंतराल के मध्य बिंदु का पता लगाएं। (कोलम -3 तालिका 9.4)
चरण 2:
वितरण का अर्थ ज्ञात करें:
यहाँ M = M f x / N = 3540/50
= 70.80
चरण 3:
बिंदुओं से माध्य घटाकर विचलन (x) ज्ञात कीजिए।
चरण 4:
F (col-2) को x (col-5) से गुणा करके f x ज्ञात कीजिए।
कदम 5:
X के साथ f x (col- 2) गुणा करके f x ज्ञात कीजिए (col-5)
कदम 6:
Col-7 में मान जोड़कर 7 f x की गणना करें।
कदम दर 7:
मूल्यों को सूत्र में रखें।
2. लघु विधि या मान लिया मतलब विधि:
लघु विधि में एसडी की गणना आसान और कम समय लेने वाली है। यदि वर्ग अंतराल के मध्य बिंदु दशमलव संख्या हैं तो एसडी को लंबी विधि में गणना करना अधिक जटिल हो जाता है। इस पद्धति में अनिवार्य रूप से 'अनुमान लगाना' या एक अर्थ ग्रहण करना और बाद में वास्तविक अर्थ देने के लिए एक सुधार लागू करना शामिल है। ताकि इसे अर्थपूर्ण विधि कहा जाए।
उदाहरण:
एसडी, निम्न वितरण की गणना करें:
उपाय:
चरण 1:
किसी भी वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु को 'एसेम्ड माध्य' मान लें। लेकिन बीच के अंतराल में वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु को उच्चतम आवृत्ति मान लेना बेहतर है। यहाँ मान लिया गया है = मान के अनुसार 72।
चरण 2:
एक्स -3 में दिखाए गए अनुसार एक्स (ज्ञात माध्य से स्कोर का विचलन) का पता लगाएं।
x '= X - M / i
चरण 3:
F 'x की गणना करें, ' x को f (col-4) से गुणा करके।
चरण 4:
X '(col-3) को f x (col-5) से गुणा करके f x 2 की गणना करें।
कदम 5:
क्रमशः ∑ f x ’और x f x ' 2 इसे-कोल -4 और कोल -5 में मान जोड़कर ज्ञात करें। '
कदम 6:
मूल्यों को सूत्र में रखें:
लघु विधि में एसडी के लिए सूत्र है:
जहाँ मैं = वर्ग अंतराल का आकार
Sum = कुल योग
च = आवृत्ति
x '= उनके ग्रहण किए गए माध्य से स्कोर का विचलन।
अब यदि हम C के स्थान पर x f x ’/ N स्थानापन्न करेंगे।
सूत्र निम्नानुसार होगा:
अब मूल्यों को हम सूत्र में रखते हैं।
1. यदि प्रत्येक स्कोर में एक स्थिर मान जोड़ा जाता है या प्रत्येक स्कोर से घटाया जाता है, तो एसडी का स्वर अपरिवर्तित रहता है:
इसका मतलब है एसडी मूल परिवर्तन (इसके अलावा, घटाव) से स्वतंत्र है। इस प्रकार यदि एक स्थिर मान जोड़ा जाता है या प्रत्येक विविधता से घटाया जाता है तो एसडी समान रहता है।
हम निम्नलिखित उदाहरण से इसकी जांच कर सकते हैं:
उपरोक्त तालिका में 5 विद्यार्थियों के अंक दिए गए हैं। आइए देखें कि यदि हम निरंतर संख्या 5 कहते हैं और प्रत्येक स्कोर से 5 घटाते हैं, तो स्कोर के एसडी के साथ क्या होता है।
2. यदि किसी स्थिर मान को गुणा किया जाता है या मूल अंकों में विभाजित किया जाता है, तो SD का मूल्य भी गुणा या उसी से विभाजित होता है:
इसका मतलब है कि एसडी पैमाने के परिवर्तन (गुणन, विभाजन) से स्वतंत्र है। यदि हम मूल अंकों को एक स्थिर संख्या से गुणा करते हैं तो एसडी को भी उसी संख्या से गुणा किया जाता है।
फिर यदि हम प्रत्येक अंक को एक स्थिर संख्या से विभाजित करते हैं तो एसडी भी उसी संख्या से विभाजित हो जाता है।
हम निम्नलिखित उदाहरण के साथ इसका उदाहरण दे सकते हैं:
उपरोक्त तालिका में 5 छात्रों के अंक दिए गए हैं। आइए देखें कि 5 स्कोर के एसडी के साथ क्या होता है यदि हम इसे एक स्थिर संख्या 2 के साथ गुणा करते हैं और इसे उसी स्थिर संख्या के साथ विभाजित करते हैं।
इस प्रकार हमने पाया कि यदि अंकों को एक स्थिर संख्या से गुणा किया जाता है तो also को भी इसके साथ गुणा किया जाता है। यदि अंकों को एक स्थिर संख्या से विभाजित किया जाता है तो gets भी उसी संख्या से विभाजित हो जाता है।
एसडी के गुण:
1. मानक विचलन सख्ती से परिभाषित किया गया है और इसका मूल्य हमेशा निश्चित है।
2. यह डेटा के सभी अवलोकनों पर आधारित है।
3. यह आगे बीजीय उपचार में सक्षम है और कई गणितीय गुणों के पास है।
4. Q और AD के विपरीत, यह स्कोर के उतार-चढ़ाव से कम प्रभावित होता है।
5. एडी के विपरीत, यह नकारात्मक संकेतों को अनदेखा नहीं करता है। विचलन के वर्ग में यह इन कठिनाइयों को खत्म करता है।
6. यह परिवर्तनशीलता का विश्वसनीय और सबसे सटीक उपाय है। यह हमेशा इस अर्थ के साथ जाता है कि केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे स्थिर उपाय क्या है।
7. एसडी एक माप देता है जो एक परीक्षण से दूसरे में तुलनीय अर्थ है। सभी सामान्य वक्र इकाइयों के ऊपर एक इकाई में व्यक्त किए जाते हैं।
एसडी के प्रदर्शन:
1. एसडी को समझना मुश्किल है और गणना करना आसान नहीं है।
2. SD अत्यधिक स्कोर और उन लोगों के लिए अधिक वजन देता है जो क्षुद्र हैं। यह इसलिए है क्योंकि विचलन के वर्ग, जो आकार में बड़े हैं, उन अनुपातों के वर्गों की तुलना में आनुपातिक रूप से अधिक होंगे जो तुलनात्मक रूप से छोटे हैं।
एसडी का उपयोग:
1. एसडी का उपयोग तब किया जाता है जब हमारा जोर सबसे बड़ी स्थिरता वाली परिवर्तनशीलता को मापने के लिए होता है।
2. जब चरम विचलन उस समय परिवर्तनशीलता को प्रभावित कर सकता है तो एसडी का उपयोग किया जाता है।
3. एसडी को सहसंबंध के गुणांक, मानक स्कोर, मानक त्रुटियों, विश्लेषण का विश्लेषण, सह-विचरण का विश्लेषण आदि जैसे गणना के लिए उपयोग किया जाता है।
4. जब एनपीसी के संदर्भ में अंकों की व्याख्या की जाती है, तो एसडी का उपयोग किया जाता है।
5. जब हम परीक्षण स्कोर की विश्वसनीयता और वैधता निर्धारित करना चाहते हैं, तो एसडी का उपयोग किया जाता है।
संयुक्त मानक विचलन:
अनुसंधान कार्य के दौरान कभी-कभी हम आबादी से एक से अधिक नमूने खींचते हैं। इसलिए हमें प्रत्येक समूह या नमूने के लिए अलग-अलग एसडी मिलते हैं। लेकिन कभी-कभी हमें इन परिणामों को एक समूह के रूप में व्याख्या करने की आवश्यकता होती है। इसलिए जब अंकों के अलग-अलग सेटों को एक एकल में जोड़ा गया है, तो उप-समूहों के एसडी से कुल वितरण के एसडी की गणना करना संभव है।
संयुक्त मानक विचलन की गणना के लिए फॉर्मूला निम्नानुसार है:
N 1, N 2, N n = समूह -1 में समूह की संख्या, समूह -2 तक nth समूह तक।
d = (मीन-एम कंघी ) 'डी' संबंधित समूह के मा से कंघी घटाकर पाया जाता है।
इसी तरह d 1, d 2 … d n पाए जाते हैं।
σ = संबंधित समूह का मानक विचलन σ 1, σ 2, σ 3 का अर्थ है समूह 1, समूह -2, समूह -3 आदि।
उदाहरण:
उपाय:
अब मूल्यों को सूत्र में रखें।
