मीन की मानक त्रुटि
इस लेख को पढ़ने के बाद आप माध्य के मानक के बारे में जानेंगे।
सांख्यिकीय निष्कर्ष भी हमें इस परिकल्पना का परीक्षण करने में मदद करता है कि "नमूना पर आधारित आँकड़ा जनसंख्या पैरामीटर से काफी अलग नहीं है और यह कि अंतर अगर किसी नोट किया गया है तो केवल मौका भिन्नता के कारण" ।
मतलब की मानक त्रुटि (एसई एम या of एम )
माध्य की मानक त्रुटि (एसई एम ) माध्य की अभ्यावेदन या विश्वसनीयता या महत्व को परखने के लिए काफी महत्वपूर्ण है।
मान लीजिए कि हमने न्यूमेरिकल एबिलिटी टेस्ट में दिल्ली के 10 वीं कक्षा के 200 लड़कों के औसत अंकों की गणना 40 की है। इस प्रकार 40 का मतलब केवल एक नमूना है जनसंख्या से (दिल्ली में दसवीं कक्षा में पढ़ने वाले सभी लड़के)।
हम आबादी के 200 लड़कों के विभिन्न यादृच्छिक नमूने भी बना सकते हैं। मान लीजिए कि हम बेतरतीब ढंग से 100 अलग-अलग नमूने चुनते हैं, प्रत्येक नमूना एक ही आबादी के 200 लड़कों से मिलकर और प्रत्येक नमूने के माध्य की गणना करता है।
यद्यपि प्रत्येक मामले में 'एन' 200 है, लेकिन अलग-अलग नमूनों को गठित करने के लिए 200 लड़कों को यादृच्छिक रूप से चुना गया है जो समान नहीं हैं और इसलिए नमूने में उतार-चढ़ाव के कारण हमें इन 100 अलग-अलग नमूनों से 100 औसत मान प्राप्त होंगे।
ये माध्य मान एक दूसरे से भिन्न होते हैं और वे एक श्रृंखला बनाते हैं। ये मूल्य साधनों के नमूने वितरण का निर्माण करते हैं। यह गणितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है कि ये नमूना साधन सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं।
100 मतलब मान (हमारे उदाहरण में) एम पॉप के आसपास एक सामान्य वितरण में गिर जाएगा, एम पॉप का मतलब वितरण के नमूने का मतलब है। इन 100 नमूना साधनों के मानक विचलन को मीन का एसई एम या मानक त्रुटि कहा जाता है जो कि वर्गमूल (नमूना आकार) द्वारा विभाजित जनसंख्या के मानक विचलन के बराबर होगा।
एसई एम नमूना दिखाता है कि एम पॉप के चारों ओर प्रसार का मतलब है। इस प्रकार एसई एम नमूना साधन की परिवर्तनशीलता का एक उपाय है। यह एम पॉप से नमूना साधनों के विचलन का एक उपाय है। SE M को। M के रूप में भी लिखा जाता है।
माध्य की मानक त्रुटि (एसई एम या of एम ) सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है (बड़े नमूनों के लिए)
(ए) बड़े नमूनों में एसई एम की गणना :
जहां where = जनसंख्या का मानक विचलन और
n = नमूने में शामिल मामलों की संख्या
(जैसा कि हम शायद ही कभी किसी आबादी के एसडी हो सकते हैं, have हम नमूना साधनों के एसडी के मूल्य का उपयोग करते हैं)।
विश्वास अंतराल:
दो आत्मविश्वास अंतराल यानी 95% और 99% सामान्य उपयोग में हैं। आरए फिशर विश्वास अंतराल की सीमाओं को नाम देता है जिसमें "फिड्यूसरी सीमा" के रूप में पैरामीटर होता है और अंतराल में रखे गए विश्वास को फिडुशीयरी संभावना के रूप में नामित किया है।
(ए) आत्मविश्वास अंतराल के ९ ५%:
सामान्य वक्र के तहत क्षेत्र की तालिका का उल्लेख करते हुए हम पाते हैं कि 95% मामले M ± 1.96 SE M के बीच स्थित हैं। हम कहते हैं कि 95% आश्वस्त या सही है कि एम पॉप अंतराल M + 1.96 SE M और M + 1.96 SE M में झूठ होगा और हम यह कहने के लिए 5% गलत हैं कि M पॉप इस अंतराल को समाप्त कर देगा।
दूसरे शब्दों में M पॉप की सीमा M SE 1.96 SE M में होने की संभावना 95% (या .95) है और M पॉप के रेंज के बाहर होने की संभावना 5% (या .05) है। मूल्य, 1.96 महत्व के .05 स्तर पर महत्वपूर्ण मूल्य है।
(b) 99% कॉन्फिडेंस इंटरवल:
सामान्य वक्र के तहत क्षेत्र की तालिका का उल्लेख करते हुए हम पाते हैं कि 99% मामले M the 2.58 SE M के बीच स्थित हैं। हम 99% आश्वस्त या सही कह रहे हैं कि M पॉप अंतराल M - 2.58 SE M और M + 2.58 SE M में झूठ होगा और हम यह कहने के लिए 1% गलत हैं कि M pop इस अंतराल के बाहर स्थित होगा।
दूसरे शब्दों में, M पॉप की सीमा M the 2.58 SE M में होने की संभावना 99% (या .99) है और M पॉप की सीमा के बाहर होने की संभावना 1% (या .01) है। मान, 2.58 महत्वपूर्ण मान .01 स्तर का महत्वपूर्ण मान है।
यहां हम पाते हैं कि महत्व का स्तर सटीकता की सीमा से विपरीत है। ०५ के स्तर के महत्व में हम ९ ५% मामलों में सटीक होंगे और ०.० के स्तर के महत्व में हम ९९% की सहजता में सटीक होंगे।
नीचे दी गई तालिका आपको आगे बताएगी:
उदाहरण 1:
न्यूमेरिकल एबिलिटी के एक टेस्ट में दिल्ली के बारहवीं कक्षा के 225 लड़कों के माध्य और एसडी क्रमशः 48 और 6 थे। यह कितनी अच्छी तरह से एम पॉप का प्रतिनिधित्व करता है या एम पॉप का अनुमान लगाता है। (n = 225, σ = 6, माध्य = 48]
सामान्य वितरण की तालिका (तालिका ए) का उल्लेख करके हम पाते हैं कि सभी सबसे (99.7) मामले σ 3± में झूठ बोलते हैं। हमारे उदाहरण के मामले में सभी नमूना साधन एम पॉप + 3 and मीटर और एम पॉप - 3σ एम के बीच स्थित होंगे । तो, किसी भी नमूने का मतलब एम पॉप की तुलना में 3 more एम से कम सबसे अच्छा 3σ एम होगा।
इस प्रकार यदि हम we M का मूल्य जानते हैं तो हम अपने नमूना माध्य से M पॉप के बारे में अनुमान लगा सकते हैं। यहां 4 नमूना साधनों के वितरण का मानक विचलन है, जिसका हमारा मतलब एक है। सभी नमूने का मतलब है जो आम तौर पर एम पॉप के आसपास वितरित किए जाते हैं, एम पॉप + 3 एसई एम और एम पॉप - 3 एसई एम के बीच झूठ होगा।
3 एसई एम = 3 एक्स .4 = 1.2
यद्यपि हम एम पॉप के सही मूल्य को नहीं जानते हैं लेकिन हम कम से कम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि एम पॉप बीच में है
(48 -1.2) और (48 + 1.2) या 46.8 → 49.2
तालिका A से हमें पता चलता है कि 95% सहजता σ 1.96 that के बीच है। हमारे उदाहरण के मामले में एम पॉप के लिए 95% आत्मविश्वास अंतराल एम - 1.96 एसई एम से एम + 1.96 एसई एम है ।
अब, 1.96 एसई एम = 1.96 x .4 = .78
। । । एम- 1.96 एसई एम = 48 - .78 = 47.22 और एम + 1.96 एसई एम = 48 + .78 = 48.78।
। । । 95% आत्मविश्वास अंतराल 47.22 से 48.78 तक होता है। M पॉप के लिए 99% विश्वास अंतराल M - 2.58 SE M से M + 2.58 SE M तक है ।
अब 2.58 SE M = 2.58 X .4 = 1.03
। । । एम - 2.58 एसई एम = 48 -1.03 = 46.97 और एम + 2.58 एसई एम = 48 + 1.03 = 49.03
। । । एम पॉप के लिए 99% विश्वास अंतराल 46.97 से 49.03 तक है।
उदाहरण 2:
एक परीक्षण में 400 छात्रों का माध्य और एसडी 42 पाया गया और 8. क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि जनसंख्या का औसत स्कोर 99% और 95% विश्वास अंतराल पर है?
उपाय:
(i) M पॉप के लिए 95% विश्वास अंतराल M - 1.96 SE M से M + 1.96 SE M है ।
अब 1.96 एसई एम = 1.96 x .4 = .784
। । । M-1.96 SE M = 42-.784 = 41.22
और एम + 1.96 एसई एम = 42 + .784 = 42.78 (दो दशमलव तक)।
इस प्रकार 95% आत्मविश्वास अंतराल 41.22 से 42.78 तक है। हम 95% सटीक हैं कि M पॉप 41.22 से 42.78 के बीच है।
(ii) M पॉप के लिए 99% विश्वास अंतराल M - 2.58 SE M से M + 2.58 SE M तक है
अब 2.58 SE M = 2.58 x 4 = 1.03
। । । एम - 2.58 एसई एम = 42- 1.03 = 40.97
और एम +2.58 एसई एम = 42 + 1.03 = 43.03
इस प्रकार 99% विश्वास अंतराल 40.97 से 43.03 तक है। हम 99% आश्वस्त हैं कि एम पॉप 40.97 और 43.03 के बीच है।
उदाहरण 3:
न्यूमेरिकल एबिलिटी के एक परीक्षण में 169 लड़कों के नमूने के साधन और एसडी क्रमशः 50 और 6 हैं:
(i) जनसंख्या के मतलब के लिए 95% अंतराल का निर्धारण करें और इसकी व्याख्या करें।
(ii) ०.५५ और ०.०१ के स्तर पर स्वीकार्य नमूने की त्रुटि का निर्धारण करें।
(iii) एम पॉप के लिए ९९% विश्वास अंतराल निर्धारित करें।
उपाय:
म = ५०
(i) Mp 0p के लिए 95% विश्वास अंतराल M - 1.96 SE M से M + 1.96 SE M तक है ।
अब 1.96 SE m = 1.96 x .46 = .90
इस प्रकार M-1.96 SE M = 50 -90 = 49.10
और एम + 1.96 एसई एम = 50 +.90 = 50.90
। । । एम पॉप के लिए 95% विश्वास अंतराल 49.10 से 50.90 तक है। 50 के नमूने के माध्यम से हम अनुमान लगाते हैं कि एम पॉप का मूल्य 49.10 और 50.90 के बीच कुछ निश्चित मूल्य है और यह कहने में कि हम 95% भरोसेमंद हैं।
दूसरे शब्दों में, हमारे 50 का नमूना मतलब। पॉप को .90 से अधिक याद नहीं करेगा और यह 100 में 95 मामलों के लिए सही होगा। वैकल्पिक रूप से, केवल 5 मामलों में 100 में हमारा नमूना मतलब एम पॉप से चूक जाएगा। से अधिक ।90।
(ii) ०.०५ के महत्व का महत्वपूर्ण मान = १. ९ ६
महत्वपूर्ण मान .01 महत्व का स्तर = 2.58
"नमूनाकरण त्रुटि = महत्वपूर्ण मान x SE M "
इस प्रकार महत्व के .05 स्तर पर नमूने की त्रुटि 1.96 एसई एम है और यह .01 स्तर की सार्थकता 2.58 एसई एम है।
.05 स्तर पर स्वीकार्य नमूनाकरण त्रुटि = 1.96 SE M = 1.96 x .46 = .90
स्वीकार्य नमूनाकरण त्रुटि .01 स्तर = 2.58 SE M = 2.58 X .46 = 1.19
(iii) 99% विश्वास अंतराल M - 2.58 SE M से M + 2.58 SE M तक है
अब 2.58 एसई एम = 2.58 एक्स .46 = 1.19
इस प्रकार M-2.58 SE M = 50- 1.19 = 48.81
और एम +2.58 एसई एम = 50 + 1.19 = 51.19
99% विश्वास अंतराल 48.81 से 51.19 तक है।
उदाहरण 4:
500 सैनिकों के दिए गए समूह के लिए औसत एजीसीटी स्कोर 95.00 और एसडी 25 है।
(ii) सही मायनों के लिए .99 विश्वास अंतराल निर्धारित करें।
(ii) यह संभावना नहीं है कि सही अर्थ किस मूल्य से बड़ा है?
उपाय:
(i) 99% विश्वास अंतराल M - 2.58 SE M से M + 2.58 SE M तक है ।
अब 2.58 एसई एम = 2.58 x 1.12 = 2.89
इस प्रकार M-2.58 SE M = 95.0-2.89 = 92.11
और एम + 2.58 एसई एम = 95.0 + 2.89 = 97.89
। । । 99% विश्वास अंतराल 92.11 से 97.89 तक है।
हमारे नमूने का मतलब 95.0 से है, हम अनुमान लगाते हैं कि सही मायने में 92.11 और 97.89 के बीच कुछ निश्चित मूल्य हैं और इसलिए हम 99% आश्वस्त हैं।
(ii) ९ ०.० का हमारा नमूना मतलब २. mean ९ से अधिक का सही अर्थ याद नहीं करेगा, सच ९ .8..8 ९ से बड़ा नहीं है।
(बी) छोटे नमूने में एसई एम की गणना:
किसी भी नमूने को बड़ा कहना पारंपरिक है तो बड़े नमूने के रूप में 30। जब N बड़ा होता है, तो यह सुधार करने योग्य नहीं होता है। लेकिन जब N "छोटा" (30 से कम) होता है, तो इसका उपयोग करने की सलाह दी जाती है (N - 1), और जब N काफी छोटा होता है, तो यह अनिवार्य है - 10 से कम।
छात्र को याद रखना चाहिए (i) कि सैद्धांतिक रूप से (एन - 1) का उपयोग हमेशा किया जाना चाहिए जब एसडी को आबादी का अनुमान होना चाहिए; और (ii) N = 30 के कटिंग पॉइंट के संदर्भ में "बड़े सैंपल स्टैटिस्टिक्स" और "स्मॉल सैंपल स्टैटिस्टिक्स" का अंतर मनमाना है, और यह सुविधा का मामला है।
जब N, SE M या SE M के लिए लगभग 30 से कम सूत्र को पढ़ना चाहिए:
उदाहरण 5:
निम्नलिखित पांच छात्रों ने एक परीक्षा में स्कोर हासिल किया है:
आबादी के लिए 95% विश्वास सीमा की सीमा निर्धारित करें।
स्कोर हैं - 11, 13, 9, 12, 15:
उपाय:
एम = 12
यहाँ df = n- 1 = 5-1 = 4
तालिका डी को संदर्भित करते हुए, df = 4 के साथ, t -ueue का महत्व के .05 स्तर (अर्थात 95% आत्मविश्वास का स्तर) 2.78 है।
95% आत्मविश्वास अंतराल एम% 2.78 एसई एम को परिभाषित करता है
2.78 एसई एम = 2.78 x 1.0 = 2.78
एम - 2.78 एसई एम = 12 - 2.78 X1.0 = 9.22 और
एम + 2.78 एसई एम = 12 + 2.78 एक्स 1 = 14.78
। । । 95% आत्मविश्वास अंतराल की सीमा 9.22 और 14.78 है।
इसका मतलब यह है कि पी = .95 कि एम पॉप अंतराल 9.22 से 14.78 में निहित है।
उदाहरण 6:
प्रकाश के लिए प्रतिक्रिया समय के दस उपाय एक अभ्यास पर्यवेक्षक से लिए गए हैं। माध्य 175.50 मिली (मिलीसेकंड) है और एस 5.82 एमएस है। एम पॉप के लिए .95 विश्वास अंतराल निर्धारित करें; .99 विश्वास अंतराल।
उपाय:
n = 10, एस = 5.82 एमएस, एम = 175.50 एमएस
T निर्धारित करने के लिए उपलब्ध df (स्वतंत्रता की डिग्री) (n - 1) या (10 - 1) = 9 हैं
(i) 95% (या 95) विश्वास अंतराल का निर्धारण:
9 डीएफ के साथ तालिका डी में प्रवेश करते हुए, हम उस टी = 2.26 को .05 बिंदु पर पढ़ते हैं।
M पॉप के लिए 95% विश्वास अंतराल M - 2.26 SE M से M + 2.26 SE M तक है ।
अब 2.26 SE M = 2.26 x 1.84 = 4.16
इस प्रकार एम - 2.26 एसई एम = 175.50 -4.16 = 171.34
और एम + 2.26 एसई एम = 175.50 + 4.16 = 179.66
। । । एम पॉप के लिए 95% विश्वास अंतराल 171.34 से 179.66 तक है। P .95 है कि M पॉप 171.34 से कम नहीं है और न ही 179.66 से अधिक है। अगर हम अनुमान लगाते हैं कि एम पॉप इस अंतराल के भीतर है, तो प्रयोगों की एक लंबी श्रृंखला में हमें सही समय का 95% और गलत 5% होना चाहिए।
(ii) 99% (या .99) विश्वास अंतराल का निर्धारण:
9 डीएफ के साथ तालिका डी में प्रवेश करने पर हम टी = 3.25 पर .01 बिंदु पढ़ते हैं। M पॉप के लिए 99% विश्वास अंतराल M - 3.25 SE M से M + 3.25 SE M तक है ।
अब 3.25 एसई एम = 3.25 x 1.84 = 5.98
इस प्रकार एम - 3.25 एसई एम = 175.50 - 5.98 = 169.52
और एम + 3.25 एसई एम = 175.50 + 5.98 = 181.48
। । । एम पॉप के लिए 99% विश्वास अंतराल 169.52 से 181.48 तक है।
P .99 है कि M पॉप 169.52 से कम नहीं है और न ही 181.48 से अधिक है। यदि हम अनुमान लगाते हैं कि एम पॉप इस अंतराल के भीतर है, तो प्रयोगों की एक लंबी श्रृंखला में हमें सही -99% समय और गलत 1% होना चाहिए।
अन्य सांख्यिकी के संदर्भ में:
चूंकि सभी आँकड़ों में नमूना वितरण और मानक त्रुटियां हैं, जो मेडियन, चतुर्थक विचलन, मानक विचलन, प्रतिशत और अन्य आँकड़ों के महत्व को अर्थ की तरह समझा जा सकता है और हम पैरामीटर का अनुमान लगा सकते हैं।
(i) मेडियन की मानक त्रुटि (या SE Mdn -):
एसडी और क्यू के संदर्भ में, बड़े नमूनों के लिए मंझले एसई की गणना निम्न सूत्रों के माध्यम से की जा सकती है:
जिसमें which = नमूने का एसडी, नमूने का n = आकार और नमूना का Q = चतुर्थक विचलन।
एक उदाहरण सूत्र के उपयोग और व्याख्या का वर्णन करेगा:
उदाहरण 7:
Trabue Language Scale A पर 801 ग्यारह वर्षीय लड़कों ने निम्नलिखित रिकॉर्ड बनाया:
माध्य = 21.40 और क्यू = 4.90। यह माध्यिका उस आबादी के माध्यिका का कितनी अच्छी तरह से प्रतिनिधित्व करती है जिससे यह नमूना खींचा गया है?
उपाय:
n = 801, Mdn = 21.40, Q = 4.90।
दूसरा सूत्र लगाने से,
चूंकि एन बड़ी है, इसलिए नमूना वितरण सामान्य हो सकता है और तालिका डी में अंतिम पंक्ति से पाया गया आत्मविश्वास अंतराल। Mdn पॉप के लिए .99 विश्वास अंतराल 21.40 ± 2.58 x .32 या 21.40 83 .83 है।
हमें विश्वास हो सकता है कि जनसंख्या का औसत 20.57 से कम नहीं है और न ही 22.23 से अधिक है। यह संकीर्ण सीमा नमूना माध्यिका में उच्च स्तर की विश्वसनीयता दिखाती है।
(ii) मानक विचलन की मानक त्रुटि (SE of):
मानक विचलन की मानक त्रुटि, एसई एम की तरह, अपने पैरामीटर (जनसंख्या) से नमूना एसडी के संभावित विचलन की गणना करके पाया जाता है। एसई formula के लिए सूत्र है
उदाहरण 8:
n = 400, = = 6
यह एसडी कितनी अच्छी तरह से उस आबादी के एसडी का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें से नमूना तैयार किया गया है?
उपाय:
जब नमूने बड़े होते हैं और उनकी आबादी से यादृच्छिक रूप से खींचे जाते हैं, तो उपरोक्त सूत्र एसई एम के समान ही लागू और व्याख्या किए जा सकते हैं।
चूंकि N बड़ा है, इसलिए SD पॉप के लिए .99 विश्वास अंतराल को सुरक्षित रूप से large 2.58 the ± की सीमा पर लिया जा सकता है। Itut σ के लिए स्थानापन्न करना हमारे पास 6 x 2.58 x .21 है अर्थात (6 - .54) (6 + .54) या 5.46 और 6.54 के बीच की सीमा।
यदि हम मानते हैं कि एसडी पॉप सीमाएं 5.46 और 6.54 के बीच है, तो हमें समय का सही 99% और गलत 1% होना चाहिए।
(iii) चतुर्थक विचलन की मानक त्रुटि (या SE Q या ation q ):
एसई क्यू सूत्र से पाया जा सकता है:
उदाहरण 9:
एन = 801, क्यू = 4.90
यह Q कितनी अच्छी तरह से जनसंख्या चतुर्थक विचलन का प्रतिनिधित्व करता है?
उपाय:
सूत्र लगाने से
क्यू पॉप के लिए .99 विश्वास अंतराल 4.90 x 2.58 x .203 यानी 4.38 से 5.42 तक है। इस सीमा से पता चलता है कि नमूना क्यू एक अत्यधिक भरोसेमंद आँकड़े है।
(iv) प्रतिशत की मानक त्रुटि (या एसई% या:%):
एक व्यवहार की प्रतिशत घटना दे, सवाल अक्सर उठता है कि हम आंकड़े में कितना आत्मविश्वास रख सकते हैं। एक विश्वसनीय सूचकांक हमारे व्यवहार की घटनाओं का प्रतिशत है जिसमें हम रुचि रखते हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए,
हमें सूत्र द्वारा प्रतिशत के एसई की गणना करनी चाहिए:
जिसमें
p = व्यवहार की प्रतिशत घटना, q = (1 - p)
n = मामलों की संख्या।
उदाहरण 10:
प्राथमिक-स्कूली बच्चों के बीच धोखाधड़ी के एक अध्ययन में, उच्च सामाजिक-आर्थिक स्थिति वाले घरों के 400 बच्चों में से 100 या 25% को विभिन्न परीक्षणों में धोखा मिला। जनसंख्या प्रतिशत का कितना अच्छा प्रतिनिधित्व करता है?
उपाय:
पी = 25% (प्रतिशत घटना)
q = 75% (100% - 25%)
जनसंख्या प्रतिशत के लिए 99% विश्वास अंतराल
25% ± 2.58 x 2.17%।
25% - 2.58 x 2.17% = 25% - 5.60% = 19.4%
और 25% + 2.58 x 2.17% = 25% + 5.60 = 30.60%
हम 99% विश्वास के साथ मान सकते हैं कि उच्च सामाजिक-आर्थिक स्थिति के प्राथमिक स्कूल के बच्चे कम से कम 19.4% के साथ धोखा करेंगे और 30.60% से अधिक नहीं होंगे।
(v) सहसंबंध के गुणांक की मानक त्रुटि (SE r या: r ):
ए के एसई के लिए शास्त्रीय सूत्र है
(N के बड़े होने पर सहसंबंध r के गुणांक का SE)
उदाहरण 11:
n = 120, आर = 60।
जनसंख्या r के लिए 99% विश्वास अंतराल की सीमाएं क्या हैं
उपाय:
99% विश्वास अंतराल
= r ± 2.58 SE r = .60 SE 2.58 SE r
= .60। .15 या .45 से .75
महत्वपूर्ण सांख्यिकीय नियम:
(i) स्तर:
.05:
100 नमूनों में से 5 नमूनों में गलत होने की संभावना।
.01:
100 नमूनों में से 1 नमूने में गलत होने की संभावना।
(ii) आत्मविश्वास:
.05 स्तर के महत्व में प्रयोगकर्ता को 95% विश्वास है कि डेटा को जनसंख्या का प्रतिनिधित्व करना चाहिए।
.01 महत्त्व के स्तर में प्रयोग करने वाले को 99% विश्वास है कि नमूना सांख्यिकी को जनसंख्या का प्रतिनिधित्व करना चाहिए।
(iii) महत्व के स्तर:
परिकल्पना का परीक्षण करने से पहले हमें उन मानदंडों को तय करना होगा जिनके साथ हम शून्य परिकल्पना को स्वीकार या अस्वीकार करना चाहते हैं। हमें परीक्षण से पहले महत्व का स्तर निर्धारित करना होगा। महत्व के दो स्तर सामान्य उपयोग में हैं।, .05 स्तर और .01 स्तर।
(ए) .05 महत्व का स्तर:
हमने तालिका ए से पढ़ा कि सामान्य वितरण वितरण में 95% मामले Table 1.96 SE M की सीमा के भीतर आते हैं। यदि हम M 96 1.96 SE M द्वारा निर्दिष्ट सीमा लेते हैं, तो हम एक अंतराल को परिभाषित करते हैं जिसके लिए आत्मविश्वास का स्तर .95 है। इन सीमाओं पर एम पॉप के आकार के रूप में हमारे फैसले को आधार बनाते हुए, हम समय के सही 95% और गलत 5% होने के लिए खड़े हैं।
के बीच का क्षेत्र - 1.96 एसई एम और + 1.96 एसई एम को एच ओ की स्वीकृति के क्षेत्र और परे क्षेत्र के रूप में जाना जाता है - 1.96 एसई एम और + 1.96 एसई एम को अस्वीकृति के क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। अगर किसी भी नमूने का मतलब है कि स्वीकृति के क्षेत्र में हम एच ओ को स्वीकार करते हैं। H o को अस्वीकार करने पर हम स्वीकार करते हैं कि नमूना माध्य M 1.96 SE M से बाहर हो सकता है।
इस प्रकार H o को अस्वीकार करने पर हम 5% त्रुटि करते हैं क्योंकि 100 में से 5% में इस तरह के नमूने का अर्थ हो सकता है। जब हम सही होते हैं तो हम H को अस्वीकार करने में 5% जोखिम लेने के लिए तैयार होते हैं। इस प्रकार H o को अस्वीकार करने के मानदंड को महत्व के स्तर पर रखा गया है।
(बी) .01 महत्व का स्तर:
हमने तालिका ए से पढ़ा कि सामान्य वितरण गिरावट में 99% सहजता limits 2.58 SE M की सीमा के भीतर है। यदि हम M 8 2.58 SE M द्वारा निर्दिष्ट सीमाएँ पूरी करते हैं, तो हम एक अंतराल निर्धारित करते हैं जिसके लिए आत्मविश्वास का स्तर .99 है। इन सीमाओं पर एम पॉप के आकार के रूप में हमारे निर्णय को आधार बनाते हुए, हम सही 99% समय और गलत 1% होने के लिए खड़े हैं।
2.58 SE M और + 2.58 SE M के बीच का क्षेत्र H 0 की स्वीकृति का क्षेत्र होगा और इसके आगे का क्षेत्र H o की अस्वीकृति का क्षेत्र होगा। जब हम सही होते हैं तो एच ओ को अस्वीकार करने में 1% जोखिम उठाने के लिए तैयार हैं।
.01 स्तर की तुलना में .01 का स्तर अधिक सटीक है क्योंकि .01 स्तर में एच ओ को अस्वीकार करने में त्रुटि 1% है जबकि .05 स्तर में ऐसी त्रुटि 5% है।
(iv) टी-वितरण:
जब भी N लगभग 30 से कम होता है, जब नमूना छोटा होता है, नमूना वितरण को " t- distribution" कहा जाता है।
टी-वितरण सामान्य से बहुत भिन्न नहीं होता है जब तक कि एन काफी छोटा नहीं होता है। जैसे ही N आकार में बढ़ता है t वितरण सामान्य रूप में अधिक से अधिक निकट आता है।
टी-वितरण के गुण:
1. यह घंटी के आकार का वक्र जैसा दिखता है। लेकिन इसका वितरण शून्य तिरछा और 3 से अधिक 'कू' के साथ अधिक परिवर्तनशील है।
2. यह रेखा t = 0 के बारे में सममित है।
3. यह t = 0 पर अधिकतम समन्वय के साथ एकरूपता है।
4. जब N छोटा होता है, तो t -distribution सामान्य वक्र के नीचे होता है, लेकिन वक्र की पूंछ या छोर सामान्य वक्र के संबंधित भागों की तुलना में अधिक होते हैं।
5. t- distribution की आधार रेखा वाली इकाइयाँ वास्तव में along स्कोर हैं, अर्थात,
(v) डिग्री की स्वतंत्रता (df):
छोटे नमूने के आंकड़ों में स्वतंत्रता की डिग्री की अवधारणा अत्यधिक महत्वपूर्ण है। यह विचरण के विश्लेषण में और अन्य प्रक्रियाओं में भी महत्वपूर्ण है। स्वतंत्रता की भिन्नता का अर्थ है अलग-अलग होना।
आइए हम पांच अंकों को चुनते हैं जिसका मतलब 15. है। अब मान लीजिए कि चार स्कोर 18, 10, 20, 15 हैं। 15 के बराबर होने के लिए, पांचवां स्कोर 12 होना चाहिए। हमारे पास, ज़ाहिर है, किसी भी चार स्कोर का चयन करने की स्वतंत्रता।
लेकिन हमें 5 वां स्कोर चुनने की कोई स्वतंत्रता नहीं है क्योंकि 5 वां स्कोर पहले चार अंकों के बारे में लाए गए बदलाव में समायोजन करता है और इस धारणा के साथ कि इसका मतलब 15. होगा। यहां एन = 5 और एक प्रतिबंध लगाया गया है, यानी मतलब होना चाहिए 15. इसलिए, स्वतंत्रता की डिग्री एन - 1 या 4 है।
यदि हमारे 5 अंक 5, 6, 7, 8 और 9 हैं, तो इसका मतलब 7 है; और 7 से हमारे स्कोर के विचलन हैं - 2, - 1, 0, 1 और 2. इन विचलन का योग शून्य है। 5 विचलन में से, केवल 4 (N - 1) को "स्वतंत्र रूप से" इस शर्त के रूप में चुना जा सकता है कि बराबर शून्य शून्य 5 वें विचलन के मूल्य को तुरंत प्रतिबंधित करता है।
एसडी, ज़ाहिर है, माध्य के चारों ओर लगे विचलन के वर्गों पर आधारित है। माध्य की गणना के लिए N df हैं, लेकिन केवल (N - 1) 'S' (SD) के लिए उपलब्ध हैं क्योंकि माध्य की गणना करने में एक df खो जाता है।
एक अन्य उदाहरण में, जहां N = 10, M पॉप का अनुमान लगाने के लिए उपलब्ध df को 9 या (N - 1) के रूप में दिया गया था, अर्थात् टिप्पणियों की संख्या से कम, अर्थात् 10. एक df M की गणना करने में खो गया है और तदनुसार केवल 9 पॉप 'एस' और टी-वितरण के माध्यम से एम पॉप का अनुमान लगाने के लिए छोड़ दिए जाते हैं।
जब भी, किसी आंकड़े का उपयोग किसी पैरामीटर का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है, तो नियम यह होता है कि df उपलब्ध एन माइनस को नमूने से पहले से ही अनुमानित मापदंडों की संख्या के बराबर कर देता है। एम, एम पॉप का अनुमान है और इसकी गणना में हम 1 डीएफ खो देते हैं।
उदाहरण के लिए, r की निर्भरता का अनुमान लगाने में (जो दो साधनों से विचलन पर निर्भर करता है), df हैं (N - 2)। ची-स्क्वायर परीक्षणों और विचरण के विश्लेषण के मामले में df के निर्धारण में अलग-अलग प्रक्रियाओं का पालन किया जाता है।
(vi) अशक्त परिकल्पना:
नल की परिकल्पना मतभेदों के महत्व के परीक्षण में एक उपयोगी उपकरण है। इस परिकल्पना का दावा है कि दो जनसंख्या साधनों के बीच कोई वास्तविक अंतर नहीं है, और यह कि नमूना साधनों के बीच अंतर पाया जाता है, इसलिए, आकस्मिक और महत्वहीन है।
अशक्त परिकल्पना कानूनी सिद्धांत से संबंधित है कि "दोषी साबित होने तक एक आदमी निर्दोष है।" यह एक चुनौती का गठन करता है और एक प्रयोग का कार्य तथ्यों को इस चुनौती का खंडन (या खंडन करने में विफल) करने का मौका देना है।
उदाहरण के लिए, मान लें कि यह दावा किया जाता है कि "एकल पाली वाले स्कूलों के शिक्षण मानक दोहरे बदलाव वाले स्कूलों से बेहतर हैं"। यह परिकल्पना अस्पष्ट रूप से कही गई है और इसका सटीक परीक्षण नहीं किया जा सकता है।
अगर हम यह दावा करते हैं कि "सिंगल शिफ्ट स्कूल डबल शिफ्ट स्कूलों की तुलना में बेहतर निर्देशात्मक मानकों का उत्पादन नहीं करते हैं" (सही अंतर शून्य होना)। यह अशक्त परिकल्पना सटीक है और इसका परीक्षण किया जा सकता है। यदि हमारी अशक्त परिकल्पना अप्राप्य है, तो इसे अस्वीकार कर दिया जाना चाहिए। नो-डिफरेंस स्टेटमेंट मानता है कि दोनों समूहों का परीक्षण किया जाएगा और समान पाया जाएगा।
अधिकांश अनुभवी अनुसंधान कर्मियों द्वारा अशक्त रूप को पसंद किया जाता है। बयान का यह रूप गणितीय रूप से परिकल्पना के सांख्यिकीय परीक्षण में उपयोग किए जाने वाले मॉडल को परिभाषित करता है।
एक अशक्त परिकल्पना कभी प्रमाणित या अस्वीकृत नहीं होती है। इसे कुछ हद तक आत्मविश्वास के साथ (या निश्चित स्तर पर) स्वीकार या अस्वीकार किया जा सकता है।
परिकल्पना का परीक्षण करने से पहले हमें निम्नलिखित बातों का ध्यान रखना चाहिए:
1. नमूना बड़ा या छोटा है।
2. महत्व का स्तर क्या है।
3. परीक्षण चाहे दो-पूंछ वाला परीक्षण हो या एक-पूंछ वाला परीक्षण।
(vii) निष्कर्ष बनाने में त्रुटियां:
अशक्त परिकल्पना को स्वीकार करने या अस्वीकार करने के दौरान दो प्रकार की त्रुटियां होने की संभावना है और अनुसंधान कार्यकर्ताओं द्वारा वासना को खारिज किया जाना चाहिए।
टाइप I और टाइप II त्रुटियों को क्या कहा जाता है:
टाइप I त्रुटियाँ:
इस तरह की त्रुटियों को कम किया जाता है जब हम एक महत्वपूर्ण अंतर को चिह्नित करके एक शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं, हालांकि कोई वास्तविक अंतर नहीं है। मान लीजिए कि दो जनसंख्या के बीच अंतर का मतलब है (एम पॉप - एम पॉप = 0) वास्तव में शून्य है। (उदाहरण के लिए, लड़कों और लड़कियों को अधिकांश मानसिक परीक्षणों के संबंध में समान जनसंख्या के गठन के रूप में सोचा जा सकता है)। यदि दो नमूने के महत्व का परीक्षण एक तथ्य को दर्शाता है कि जनसंख्या का अंतर महत्वपूर्ण है, तो हम टाइप I त्रुटि करते हैं।
टाइप II त्रुटियाँ:
इस तरह की त्रुटियां तब होती हैं जब हम एक शून्य परिकल्पना को स्वीकार करते हैं, जिसमें महत्वपूर्ण अंतर नहीं होता है, हालांकि एक वास्तविक अंतर होता है। मान लीजिए कि दो जनसंख्या साधनों के बीच एक वास्तविक अंतर है।
यदि दो नमूनों के लिए लागू हमारे महत्व का परीक्षण हमें विश्वास दिलाता है कि जनसंख्या का अंतर महत्वपूर्ण नहीं है, तो हम टाइप II त्रुटि करते हैं।
दोनों तरह की त्रुटियों से बचने के लिए कई सावधानियां बरती जा सकती हैं। यदि हम महत्व का निम्न स्तर निर्धारित करते हैं (P .05 से अधिक है), तो हम टाइप I त्रुटियों की संभावना को बढ़ाते हैं; जबकि, यदि हम उच्च स्तर का महत्व निर्धारित करते हैं (पी .05 से कम है), तो टाइप I त्रुटियां कम होंगी। जब हम उच्च स्तर का महत्व निर्धारित करते हैं, तो टाइप II सॉर्ट के गलत इनफॉर्म्स खींचने की संभावना बढ़ जाती है।
(viii) महत्व के दो-पूंछ और एक-पूंछ वाले परीक्षण:
शून्य परिकल्पना में प्राप्त साधनों (यानी, एम 1 - एम 2 ) के बीच अंतर या तो प्लस या माइनस हो सकता है। संभाव्यता के निर्धारण में हम नमूना वितरण की दोनों पूंछ लेते हैं।
(ix) महत्वपूर्ण अनुपात (CR):
क्रिटिकल अनुपात (CR) नमूना मानक के बीच अंतर को उसकी मानक त्रुटि (CR = D / SE D ) द्वारा विभाजित करके पाया जाता है। जब N के नमूने बड़े होते हैं (30 या अधिक "बड़े" होते हैं), CR का वितरण जनसंख्या के साधनों के बीच वास्तविक अंतर के आसपास सामान्य माना जाता है, t एक महत्वपूर्ण अनुपात है जिसमें σ D का अधिक सटीक अनुमान है प्रयोग किया जाता है। T का नमूना वितरण सामान्य नहीं है जब N छोटा होता है (30 से कम, कहते हैं), t एक CR है; लेकिन सभी CR t नहीं हैं।
दो-पूंछ वाला परीक्षण:
1. दो पूंछ वाले परीक्षण में हम सामान्य वक्र के दोनों पूंछों को ध्यान में रखते हैं।
2. गैर-पूंछ वाले वैकल्पिक परिकल्पना के मामले में हम दो-पूंछ वाले परीक्षण करते हैं।
3. उदाहरण:
एक व्यावसायिक परीक्षा में कुछ लड़कों को एक ब्याज परीक्षा दी जाती है। एक लैटिन वर्ग में प्रशिक्षण वर्ग और कुछ लड़कों को। क्या दोनों समूहों के बीच अंतर .0 .0 स्तर पर महत्वपूर्ण है?
4. नमूना का अर्थ एम पॉप से या तो दिशा में विचलन होता है + या -।
5. एच 0 : एम 1 - एम 2 = 0
एच ए : एम 1 = एम 2
6. महत्वपूर्ण होने का मूल्य:
०.९ ५.०५ के स्तर पर
2.58 .01 के स्तर पर
7. अस्वीकृति का क्षेत्र सामान्य वक्र के दोनों सिरों (पूंछों) पर विभाजित होता है (अर्थात 05 में .025 और .03, 01 में .005 और .005)।
एक-पूंछ वाला परीक्षण:
1. हमें एक लंबा यानी बाएं हाथ या दाईं ओर सामान्य वक्र को ध्यान में रखना होगा।
2. दिशात्मक वैकल्पिक परिकल्पना के मामले में हम एक-पूंछ वाले परीक्षण को बनाते हैं। एम 1 > एम 2 । इस तरह के मामले में दिशा बहुत स्पष्ट है-एक पक्षीय।
3.Example:
डिजिट-सिंबल टेस्ट में दस विषयों को 5 क्रमिक ट्रेल्स दिए गए हैं, जिनमें से केवल 1 और 5 ट्रेल्स के स्कोर दिखाए गए हैं। क्या प्रारंभिक से अंतिम परीक्षण तक का लाभ महत्वपूर्ण है?
4. नमूना मतलब जनसंख्या से विचलन एक दिशा में मतलब है।
5. एच 0 : एम 1 = एम 2
एच ए : एम 1 > एम 2 या एम 1 <एम 2
6. महत्वपूर्ण होने का मूल्य:
0.62 के स्तर पर 1.62
2.33 पर .01 स्तर
7. वितरण की दाईं ओर एक अस्वीकृति क्षेत्र या वितरण की बाईं पूंछ है।
