संभाव्यता: अर्थ, संकल्पना और महत्व
इस लेख को पढ़ने के बाद आप इस बारे में जानेंगे: - 1. संभाव्यता का अर्थ 2. संभाव्यता की अवधारणा पर विचार के विभिन्न विद्यालय 3. महत्वपूर्ण शब्दावली 4. महत्व 5. सिद्धांत।
संभाव्यता का अर्थ:
हमारे दिन-प्रतिदिन के जीवन में "संभावना" या "मौका" शब्द का आमतौर पर उपयोग किया जाता है। कभी-कभी, हम कहते हैं कि "शायद कल बारिश हो सकती है", "शायद मिस्टर एक्स आज अपनी क्लास लेने के लिए आ सकते हैं", "शायद आप सही हैं"। ये सभी शब्द, संभावना और संभावना एक ही अर्थ को व्यक्त करते हैं। लेकिन सांख्यिकी की संभावना में आम आदमी के दृष्टिकोण के विपरीत कुछ विशेष अर्थ है।
17 वीं शताब्दी में संभाव्यता के सिद्धांत को विकसित किया गया है। इसकी उत्पत्ति खेलों से, सिक्कों को उछालने, पासा फेंकने, पैक से कार्ड बनाने में हुई है। 1954 में एंटोनी गर्नबैंड ने इस क्षेत्र के लिए एक दीक्षा और एक ब्याज लिया था।
उनके बाद आंकड़ों में कई लेखकों ने पूर्व द्वारा दिए गए विचार को फिर से तैयार करने की कोशिश की थी। "संभावना" आँकड़ों के बुनियादी साधनों में से एक बन गया है। कभी-कभी सांख्यिकीय विश्लेषण संभावना के प्रमेय के बिना पंगु हो जाता है। "किसी दी गई घटना की संभावना को एक तरह की घटनाओं के बीच घटना की घटना की अपेक्षित आवृत्ति के रूप में परिभाषित किया गया है।" (गैरेट)
संभाव्यता सिद्धांत शून्य और एक के बीच मात्रात्मक उपायों के संदर्भ में एक यादृच्छिक प्रयोग के परिणामस्वरूप विभिन्न घटनाओं की घटना की संभावना का एक विचार प्राप्त करने का एक साधन प्रदान करता है। एक असंभव घटना के लिए संभावना शून्य है और एक ऐसी घटना के लिए जो घटित होना निश्चित है।
उदाहरण:
संभावना है कि आकाश गिर जाएगा ।00 है।
एक व्यक्ति अब जीवित है किसी दिन मरना 1.00 है।
आइए हम एक प्लेइंग कार्ड बनाने के उदाहरण के साथ संभाव्यता के अर्थ को स्पष्ट करें। एक पैक में 4 प्रकार के कार्ड होते हैं और यदि इन कार्डों को बेतरतीब ढंग से बदल दिया जाएगा तो एक कुदाल खींचने की संभावना 13/52 = 1/4 होती है। यदि एक निष्पक्ष सिक्का उछाला जाता है, तो हेड (एच) की घटना की संभावना 1/2 है।
अनुपात के रूप में संभावना:
किसी घटना की संभावना या गणितीय रूप से व्यक्त अनुपात के रूप में कहा जाता है। एक निष्पक्ष सिक्के की संभावना, गिरने वाला सिर 1/2 है, और एक दो-स्थान दिखाने वाले पासा की संभावना 1/6 है। इन अनुपातों, जिन्हें संभाव्यता अनुपात कहा जाता है, वे उस अंश द्वारा परिभाषित होते हैं, जिसके अंश वांछित परिणाम या परिणाम के बराबर होते हैं, और जिसके भाजक कुल संभावित परिणामों के बराबर होते हैं।
अधिक सीधे शब्दों में कहें, 6-सामना (जैसे 4 धब्बे) पर किसी भी चेहरे की उपस्थिति की संभावना 1/6 या है
संभाव्यता = वांछित परिणाम / परिणामों की कुल संख्या
इस प्रकार, संभाव्यता एक संख्या या एक अनुपात है जो एक घटना के लिए 0 से 1. शून्य तक होता है जो घटित नहीं हो सकता है और 1 घटना के लिए, निश्चित रूप से घटित होता है।
संभाव्यता की अवधारणा पर विचार के विभिन्न विद्यालय:
संभावना की अवधारणा पर विचार के विभिन्न स्कूल हैं:
1. शास्त्रीय संभावना:
संभावना के लिए शास्त्रीय दृष्टिकोण विचार का सबसे पुराना और सरल स्कूल है। इसकी उत्पत्ति 18 वीं शताब्दी में हुई है, जिसमें संभावना के खेल के बारे में संभावना बताई गई है जैसे सिक्का, पासा, ड्राइंग कार्ड आदि।
संभाव्यता की परिभाषा एक फ्रांसीसी गणितज्ञ ने "लाप्लास" नाम से दी है। उनके अनुसार संभाव्यता समान मामलों की संख्या के बीच अनुकूल मामलों की संख्या का अनुपात है।
या दूसरे शब्दों में, शास्त्रीय दृष्टिकोण द्वारा सुझाया गया अनुपात है:
पीआर। = अनुकूल मामलों की संख्या / समान रूप से संभावित मामलों की संख्या
उदाहरण के लिए, यदि कोई सिक्का उछाला जाता है, और यदि यह पूछा जाता है कि सिर की घटना की संभावना क्या है, तो अनुकूल मामले की संख्या = 1, समान रूप से संभावित मामलों की संख्या = 2।
पीआर। का सिर = १/२
प्रतीकात्मक रूप से इसे व्यक्त किया जा सकता है:
पी = पीआर। (ए) = ए / एन, क्यू = पीआर। (बी) या (ए नहीं) = बी / एन
1 - a / n = b / n = (या) a + b = 1 और p + q = 1 भी
p = 1 - q, और q = 1 - p और यदि a + b = 1 है तो एक / n + b / n = 1 भी
इस दृष्टिकोण में संभावना 0 से 1 तक भिन्न होती है। जब संभावना शून्य होती है तो यह दर्शाता है कि ऐसा होना असंभव है।
यदि संभावना 1 है तो घटना के लिए निश्चितता है, अर्थात घटना घटित होना तय है।
उदाहरण:
20 काले और 25 सफेद गेंदों वाले बैग से, एक गेंद बेतरतीब ढंग से खींची जाती है। क्या संभावना है कि यह काला है।
पीआर। एक काले रंग की गेंद = 20/45 = 4/9 = पी, 25 पीआर। of a white ball = 25/45 = 5/9 = q
p = 4/9 और q = 5/9 (p + q = 4/9 + 5/9 = 1)
दोष:
(1) शास्त्रीय दृष्टिकोण केवल सिक्के, पासा, कार्ड, आदि के साथ सीमित है;
(२) यह कुछ मामलों में वास्तविक परिणाम की व्याख्या नहीं कर सकता है;
(३) यदि समान रूप से संभावित मामलों की संख्या अधिक है, तो संभावना अनुपात के मूल्यों का पता लगाना मुश्किल है, और
(4) यदि समान रूप से संभावित मामलों की संख्या 00 है, तो यह दृष्टिकोण अपर्याप्त है।
2. सापेक्ष आवृत्ति की संभावना का सिद्धांत:
संभावना के लिए यह दृष्टिकोण शास्त्रीय दृष्टिकोण के खिलाफ एक विरोध है। यह इस तथ्य को इंगित करता है कि यदि n we तक बढ़ा हुआ है, तो हम p या q की संभावना का पता लगा सकते हैं।
उदाहरण:
यदि n ∞ है, तो Pr। ए = ए / एन = .5, पीआर। बी का = बी / एन = ५
यदि कोई घटना n के बाहर होती है तो इसकी सापेक्ष आवृत्ति a / n होती है। जब n ∞ हो जाता है, तो सापेक्ष आवृत्ति की सीमा कहा जाता है।
पीआर। (ए) = ए / एन सीमा
जहां n → ∞
पीआर। (बी) = सीमा bl.t. यहाँ → ∞।
यदि समान या अन्य natures की वस्तुओं के बीच दो प्रकार की वस्तुएं हैं तो एक वस्तु यानी Pr की संभावना। A = .5 का, तब Pr। बी का = ५।
दोष:
1. यह दृष्टिकोण एक प्रामाणिक और वैज्ञानिक दृष्टिकोण पर नहीं है।
2. प्रायिकता का यह दृष्टिकोण एक अपरिभाषित अवधारणा है।
3. व्यवसाय और अर्थशास्त्र क्षेत्र में लागू होने के बावजूद इस प्रकार की संभावना दृष्टिकोण फिर भी यह विश्वसनीय नहीं है।
संभाव्यता में महत्वपूर्ण शब्दावली:
1. पारस्परिक रूप से विशेष कार्यक्रम:
एक साथ घटित नहीं होने पर घटनाओं को परस्पर अनन्य कहा जाता है। घटनाओं के बीच, अगर एक घटना एक परीक्षण में मौजूद रहेगी तो अन्य घटनाएं सामने नहीं आएंगी। दूसरे शब्दों में, एक की घटना अन्य सभी की घटना को पीछे छोड़ देती है।
उदाहरण के लिए:
यदि कोई लड़की सुंदर है, तो वह बदसूरत नहीं हो सकती। यदि गेंद सफेद है, तो वह लाल नहीं हो सकती। यदि हम मृत और जीवित जैसी अन्य घटनाओं को लेते हैं, तो यह कहा जा सकता है कि एक व्यक्ति एक समय में जीवित या मृत हो सकता है।
लेकिन झूठ एक साथ जीवित और मृत दोनों नहीं हो सकता। यदि एक सिक्का उछाला जाता है तो सिर दिखाई देगा या पूंछ दिखाई देगी। लेकिन दोनों एक ही समय में प्रकट नहीं हो सकते। यह संदर्भित करता है कि एक सिक्के को उछालने से सिर और पूंछ की घटना परस्पर अनन्य घटनाओं के अंतर्गत आती है।
प्रतीकात्मक रूप से यदि 'ए' और 'बी' ईवेंट परस्पर अनन्य हैं, तो पी (ए) या पी (बी) में घटनाओं की संभावना का अनुमान लगाया जा सकता है। पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाओं में पी (एबी) = 0।
2. स्वतंत्र और आश्रित घटनाएँ:
दो या अधिक घटनाओं को स्वतंत्र कहा जाता है जब एक परीक्षण की घटना दूसरे को प्रभावित नहीं करती है। यह इस तथ्य को इंगित करता है कि यदि परीक्षण एक-एक करके किया जाता है, तो एक परीक्षण दूसरे परीक्षण से प्रभावित नहीं होता है। और एक परीक्षण भी कभी अन्य परीक्षणों के बारे में कुछ भी नहीं बताता है।
उदाहरण:
सिक्का उछालने की घटनाएँ स्वतंत्र घटनाएँ हैं। यदि एक के बाद एक सिक्के को उछाला जाता है, तो एक परीक्षण दूसरे से प्रभावित नहीं होता है। एक परीक्षण में सिर या पूंछ शंकु हो सकती है जो कभी भी इस बात का वर्णन नहीं करती है कि दूसरे परीक्षण में क्या घटना आएगी। तो दूसरा परीक्षण पहले परीक्षण के लिए पूरी तरह से स्वतंत्र है।
आश्रित घटनाएँ वे होती हैं जिनमें एक परीक्षण में एक घटना की घटना और गैर-घटना अन्य परीक्षणों की घटना को प्रभावित कर सकती है। यहाँ घटनाएँ परस्पर एक दूसरे पर निर्भर हैं।
उदाहरण:
यदि कार्ड को ताश के पत्तों के पैकेट से खींचा जाता है और उसे प्रतिस्थापित नहीं किया जाता है, तो दूसरे परीक्षण में संभावना बदल जाएगी।
3. समान रूप से घटनाएँ:
घटनाओं को समान रूप से होने की संभावना है, जब होने की समान संभावना होती है। यदि एक घटना अन्य घटनाओं की तरह नहीं होती है, तो घटनाओं को समान रूप से संभावना नहीं माना जाता है। या दूसरे शब्दों में, घटनाओं को समान रूप से संभावना कहा जाता है जब एक घटना दूसरों की तुलना में अधिक बार नहीं होती है।
उदाहरण:
यदि एक निष्पक्ष सिक्का या पासा फेंका जाता है, तो प्रत्येक चेहरे के होने की उम्मीद की जा सकती है जो लंबे समय में समान संख्या में होते हैं। अन्य उदाहरणों में, ताश खेलने के एक पैकेट में हम अपेक्षा करते हैं कि प्रत्येक कार्ड समान रूप से प्रदर्शित हो। यदि एक सिक्का या पासा पक्षपाती है, तो प्रत्येक चेहरे को समान रूप से प्रकट होने की उम्मीद नहीं है।
4. सरल और यौगिक घटनाएँ:
साधारण घटनाएँ। साधारण घटनाओं में हम साधारण घटनाओं के होने या न होने की संभावना के बारे में सोचते हैं। जब भी हम सिक्का उछालते हैं तो हम सिर और पूंछ की घटनाओं की घटना पर विचार करते हैं। एक अन्य उदाहरण में, अगर एक बैग में 10 सफेद गेंदें और 6 लाल गेंदें होती हैं और जब भी हम लाल गेंद खींचने की संभावना का पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं, सरल घटनाओं में शामिल है।
यौगिक घटनाएँ:
लेकिन दूसरी तरफ जब हम दो या अधिक घटनाओं की संयुक्त घटना पर विचार करते हैं, तो यह यौगिक घटनाएं बन जाती हैं। साधारण घटनाओं के विपरीत यहाँ एक से अधिक घटनाओं को ध्यान में रखा जाता है।
उदाहरण के लिए:
यदि एक बैग में 10 सफेद और 6 लाल गेंदें हैं और यदि 3 गेंदों के क्रमिक ड्रॉ बने हैं और जब हम सफेद गेंदों के रूप में 3 गेंदों की संभावना का पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं। यह उदाहरण इस तथ्य को बताता है कि घटनाओं को दो से अधिक अंतिम मामलों में माना जाता है।
संभाव्यता का महत्व:
रोजमर्रा की जिंदगी में प्रायिकता की अवधारणा का बहुत महत्व है। सांख्यिकीय विश्लेषण इस मूल्यवान अवधारणा पर आधारित है। वास्तव में आधुनिक विज्ञान में संभावना द्वारा निभाई गई भूमिका निश्चितता का विकल्प है।
निम्नलिखित चर्चा इसे आगे बताती है:
मैं। भविष्यवाणी करने के लिए संभाव्यता सिद्धांत बहुत सहायक है। अनुमान और भविष्यवाणियां अनुसंधान जांच का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। सांख्यिकीय विधियों की सहायता से, हम आगे के विश्लेषण के लिए अनुमान लगाते हैं। इस प्रकार, सांख्यिकीय विधियां काफी हद तक प्रायिकता के सिद्धांत पर निर्भर हैं।
ii। निर्णय लेने में भी इसका अत्यधिक महत्व है।
iii। यह नियोजन और नियंत्रण और सभी प्रकार की दुर्घटनाओं की घटना से संबंधित है।
iv। यह सभी प्रकार के औपचारिक अध्ययनों के लिए अविभाज्य उपकरणों में से एक है जिसमें अनिश्चितता शामिल है।
v। संभाव्यता की अवधारणा केवल व्यावसायिक और व्यावसायिक लाइनों में ही लागू नहीं होती है, बल्कि यह सभी वैज्ञानिक जाँच और रोजमर्रा के जीवन पर भी लागू होती है।
vi। सांख्यिकीय निर्णय प्रक्रियाओं को जानने से पहले किसी को संभाव्यता के सिद्धांत के बारे में जानना होगा।
vii। सामान्य संभाव्यता की विशेषताएँ। वक्र संभावना के सिद्धांत पर आधारित है।
सामान्य वितरण निम्नलिखित कारणों से सांख्यिकीय आंकड़ों से आरेखण के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला वितरण है:
1. सबूतों की संख्या यह दिखाने के लिए जमा की जाती है कि सामान्य वितरण एक अच्छा फिट प्रदान करता है या कई (चर) जैविक आंकड़ों में होने वाली घटनाओं की आवृत्ति का वर्णन करता है (जैसे) जैविक आंकड़े जैसे कि किसी देश में जन्म के समय लिंग अनुपात कई वर्षों में, (ii) एंथ्रोपोमेट्रिकल डेटा जैसे ऊंचाई, वजन, (iii) तुलनात्मक स्थितियों के तहत एक ही व्यवसाय में श्रमिकों की बड़ी संख्या का वेतन और उत्पादन, (iv) मनोवैज्ञानिक माप जैसे खुफिया, प्रतिक्रिया समय, समायोजन, चिंता और (v) भौतिकी में टिप्पणियों की त्रुटियां।, रसायन विज्ञान और अन्य भौतिक विज्ञान।
2. सामान्य माप मनोविज्ञान और शिक्षा दोनों में मूल्यांकन और अनुसंधान में बहुत महत्वपूर्ण है, जब हम मानसिक माप का उपयोग करते हैं। यह ध्यान दिया जा सकता है कि सामान्य वितरण क्षमता या शैक्षणिक उपलब्धि के किसी भी परीक्षण पर स्कोर का वास्तविक वितरण नहीं है, बल्कि इसके बजाय, एक गणितीय मॉडल है।
परीक्षण स्कोर का वितरण एक सीमा के रूप में सैद्धांतिक सामान्य वितरण का दृष्टिकोण करता है, लेकिन फिट शायद ही कभी आदर्श और परिपूर्ण होता है।
संभाव्यता और सामान्य संभाव्यता वक्र के सिद्धांत:
जब हम एक निष्पक्ष सिक्के को उछालते हैं तो यह सिर या पूंछ में गिर सकता है। इस प्रकार, सिर गिरने की संभावना 50% या 1/2 है और गिरने वाली पूंछ भी 50% या 1/2 है। यदि हम दो निष्पक्ष सिक्कों को टॉस करते हैं, तो वे एचएच (दो सिर) एचटी (पहला सिक्का सिर और दूसरा सिक्का पूंछ), टीएच (पहला सिक्का-पूंछ और दूसरा सिक्का सिर) या टीटी (दो पूंछ) के रूप में कई तरीकों से गिर सकता है।
यदि हम एक ही समय में दो सिक्के, (क) और (बी) टॉस करते हैं, तो चार संभावित व्यवस्थाएं हैं:
हमारे पास दो सिक्के (एच + टी) 2 हैं ; और वर्ग, द्विपद (H + T) 2 = H 2 + 2HT + T 2 ।
4 में से 2 सिर में 1 एच 2 1 मौका; संभाव्यता अनुपात = 1/4
2 एचटी 2 मौके 4 में 1 सिर और 1 पूंछ; प्रायिकता अनुपात = १/२
4 में से 2 पूंछ में 1 टी 2 1 मौका; संभाव्यता अनुपात = 1/4
कुल = ४
यदि हम एक साथ तीन सिक्के (ए), (बी) और (सी) फेंकते हैं, तो out संभावित परिणाम हैं:
अनुपात के रूप में व्यक्त, तीन प्रमुखों की संभावना 1/8 (संयोजन 1) है; दो सिर और एक पूंछ 3/8 (संयोजन 2, 3 और 4); एक सिर और दो पूंछ 3/8 (संयोजन 5, 6 और 7); और तीन पूंछों का 1/8 (संयोजन 8)। इन संभाव्यता अनुपातों का योग 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8, या 1.00 है।
यदि हमारे पास तीन स्वतंत्र कारक हैं, तो अभिव्यक्ति (p + q) n तीन सिक्कों (H + T) 3 के लिए बन जाती है। इस द्विपद का विस्तार करते हुए, हमें H 3 + 3H 2 T + 3HT 2 + T 3 मिलते हैं, जो लिखा जा सकता है,
1 एच 3 1 मौका 8 में से 3 सिर; संभाव्यता अनुपात = 1/8
3 एच 2 टी 3 मौके 8 में 2 सिर और 1 पूंछ; संभाव्यता अनुपात = 3/8
3 एचटी 2 3 मौके 8 में 1 सिर और 2 पूंछ; संभाव्यता अनुपात = 3/8
1 टी 3 1 मौका 8 में से 3 पूंछ; संभाव्यता अनुपात कुल = 1/8
इसी तरह से अगर हम दस सिक्कों को टॉस करते हैं, और n के लिए 10 विकल्प देते हैं, तो द्विपद विस्तार होगा
(H + T) 10 = H 10 + 10H 9 T + 45H 8 T 2 + 120H 7 T 3 + 210H 6 T 4 + 252 H 5 T 5 + 210 H 4 T 6 + 120 H 3 T 7 + 45H 2 T 8 + 10HT 9 + टी 10 ।
विस्तार में ग्यारह संयोजन होते हैं और प्रत्येक संयोजन के गुणांक द्वारा कुल संभव घटना में से प्रत्येक संयोजन के होने की संभावना व्यक्त की जाती है।
हम एक्स-एक्सिस के साथ विस्तार के उपरोक्त ग्यारह शब्दों का समान दूरी पर प्रतिनिधित्व कर सकते हैं:
हम एच और टी के प्रत्येक संयोजन की घटना का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं वाई अक्ष के साथ आवृत्तियों के रूप में। यदि हम इन सभी बिंदुओं को प्लॉट करते हैं और उनमें शामिल होते हैं तो हमें एक सममित आवृत्ति बहुभुज मिलेगा।
यदि द्विपद (H + T) n में n का मान काफी बड़ा है (अनन्तता कहें) तो ग्राफ पर हमारे पास बहुत बड़ी संख्या होगी और उनके शामिल होने से हमें एक बिल्कुल चिकना सममित वक्र प्राप्त होगा। इस तरह के एक चिकनी और सममित वक्र को "सामान्य संभावना वक्र" के रूप में जाना जाता है।
निम्नलिखित आवृत्ति वितरण को ध्यान से देखें, जो एक शिक्षक ने कक्षा IX के 150 छात्रों को गणित की उपलब्धि परीक्षा में देखने के बाद प्राप्त किया था (देखें 6.1):
क्या आप उपरोक्त तालिका के कॉलम ३ में दिखाई गई आवृत्तियों में कुछ विशेष प्रवृत्ति पा सकते हैं? शायद हाँ! अधिकतम आवृत्ति ( f = 30) की एकाग्रता वितरण के केंद्रीय मूल्य पर होती है और इस मूल्य के दोनों किनारों पर आवृत्तियों को धीरे-धीरे समतल रूप से बंद कर दिया जाता है। यदि हम उपरोक्त वितरण की मदद से एक आवृत्ति बहुभुज बनाते हैं, तो हमारे पास एक वक्र होगा जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 6.1।
आकृति में वक्र का आकार 'बेल' की तरह है और दोनों तरफ सममित है। यदि आप मीन, माध्य और मोड के मूल्यों की गणना करते हैं, तो आप पाएंगे कि ये तीनों लगभग समान हैं (मीन = माध्य = मोड = 52)।
तकनीकी रूप से सामान्य संभावना वक्र के रूप में जाना जाने वाला 'बेल' के आकार का वक्र या सामान्य रूप से वक्र और केंद्रीय प्रवृत्ति के सभी तीन उपायों के समान मूल्यों वाले स्कोर का संगत आवृत्ति वितरण, सामान्य वितरण के रूप में जाना जाता है।
मनोवैज्ञानिक और शैक्षिक माप में इस सामान्य वक्र का बहुत महत्व है। व्यवहार संबंधी पहलुओं के मापन में, सामान्य प्रायिकता वक्र का उपयोग अक्सर संदर्भ वक्र के रूप में किया जाता है।
इस प्रकार, सामान्य संभावना वक्र एक सममित घंटी के आकार का वक्र है। कुछ वितरणों में, माप या अंकों को उनके साधनों के बारे में सममित रूप से वितरित किया जाता है। यही है, अधिकांश मामले वितरण के मध्य में स्थित होते हैं और बहुत कम मामले चरम छोर (निचले सिरे और ऊपरी और निचले) पर होते हैं।
दूसरे शब्दों में, अधिकांश माप (स्कोर) वितरण के मध्य भाग पर केंद्रित होते हैं और अन्य उपाय (स्कोर) समान अनुपात में दाएं और बाएं दोनों में गिरावट शुरू करते हैं। यह अक्सर कई प्राकृतिक घटनाओं के साथ और कई मानसिक और सामाजिक लक्षणों के साथ होता है।
यदि हम इस तरह के सममित वितरण के लिए सबसे अच्छा फिटिंग वक्र बनाते हैं, तो यह अपने केंद्र के दोनों तरफ घंटी के आकार का वक्र सममित आकार लेगा।
