सहसंबंध: अर्थ, प्रकार और इसकी गणना
इस लेख को पढ़ने के बाद आप इसके बारे में जानेंगे: - 1. सहसंबंध की परिभाषाएं 2. सहसंबंध का अर्थ 3. आवश्यकता 4. प्रकार 5. कम्प्यूटिंग के तरीके।
सहसंबंध की परिभाषाएँ:
यदि एक चर में परिवर्तन दूसरे चर में परिवर्तन के साथ प्रकट होता है, तो दो चर को सहसंबद्ध कहा जाता है और इस परस्पर निर्भरता को सहसंबंध या सहसंयोजन कहा जाता है।
संक्षेप में, दो चर के बीच युगपत भिन्नता की प्रवृत्ति को सहसंबंध या सहसंयोजन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, छात्रों के एक समूह की ऊँचाई और वजन के बीच एक संबंध हो सकता है, दो अलग-अलग विषयों में छात्रों के अंकों के बीच अंतर-निर्भरता या संबंध होने की उम्मीद है।
दो चर के बीच संबंध या सहसंयोजन की डिग्री को मापने के लिए सहसंबंध विश्लेषण का विषय है। इस प्रकार, सहसंबंध का अर्थ संबंध या "चल रहा है - एक साथ" या दो चर के बीच पत्राचार।
आंकड़ों में, सहसंबंध उपायों की दो श्रृंखला (या स्कोर) के बीच पत्राचार या आनुपातिकता का निर्धारण करने की एक विधि है। इसे सीधे शब्दों में कहें तो सहसंबंध दूसरे के साथ एक चर के संबंध को इंगित करता है।
सहसंबंध का अर्थ:
दो चर के बीच संबंध या संबंध की मात्रा को मापने के लिए, संबंध के एक सूचकांक का उपयोग किया जाता है और सहसंबंध के सह-कुशल के रूप में कहा जाता है।
सहसंबंध के सह-कुशल एक संख्यात्मक सूचकांक है जो हमें बताता है कि दो चर किस सीमा तक संबंधित हैं और एक चर में भिन्नताएं किस हद तक दूसरे में भिन्नता के साथ बदलती हैं। सहसंबंध की सह-दक्षता हमेशा या तो r या ρ (Rho) के प्रतीक के रूप में होती है।
धारणा 'आर' को उत्पाद क्षण सहसंबंध सह-कुशल या कार्ल पियर्सन के गुणांक के रूप में जाना जाता है। प्रतीक 'ρ' (Rho) को रैंक अंतर सहसंबंध गुणांक या भाला के रैंक सहसंबंध गुणांक के रूप में जाना जाता है।
' आर ' का आकार दो चर के बीच सहसंबंध-जहाज की राशि (या डिग्री या सीमा) को इंगित करता है। यदि सहसंबंध सकारात्मक है तो ' r ' का मान + ve है और यदि सहसंबंध नकारात्मक है तो V का मान ऋणात्मक है। इस प्रकार, गुणांक के संकेत रिश्ते के प्रकार को दर्शाते हैं। V का मान +1 से -1 तक भिन्न होता है।
सहसंबंध सही सकारात्मक सहसंबंध और सही नकारात्मक सहसंबंध के बीच भिन्न हो सकता है। स्केल का शीर्ष पूर्ण सकारात्मक सहसंबंध को इंगित करेगा और यह +1 से शुरू होगा और फिर यह शून्य से होकर गुजरेगा, जो सहसंबंध की संपूर्ण अनुपस्थिति को दर्शाता है।
पैमाने के नीचे -1 पर समाप्त हो जाएगा और यह सही नकारात्मक सहसंबंध को इंगित करेगा। इस प्रकार सहसंबंध के संख्यात्मक माप को स्केल द्वारा प्रदान किया जाता है जो +1 से -1 तक चलता है।
[एनबी-सहसंबंध का गुणांक एक संख्या है और प्रतिशत नहीं है। यह आमतौर पर दो दशमलव स्थानों तक होता है]।
सहसंबंध की आवश्यकता:
सहसंबंध निर्माण को अर्थ देता है। बुनियादी मनोवैज्ञानिक-शैक्षिक अनुसंधान के लिए सहसंबंधीय विश्लेषण आवश्यक है। वास्तव में अधिकांश बुनियादी और व्यावहारिक मनोवैज्ञानिक अनुसंधान प्रकृति में सहसंबंधी हैं।
सह-संबंध विश्लेषण की आवश्यकता है:
(i) मनोवैज्ञानिक और शैक्षिक परीक्षणों (विश्वसनीयता, वैधता, वस्तु विश्लेषण, आदि) की विशेषताओं को खोजना।
(ii) परीक्षण करना कि क्या कुछ डेटा परिकल्पना के अनुरूप है।
(iii) दूसरे (नों) के ज्ञान के आधार पर एक चर की भविष्यवाणी करना।
(iv) मनोवैज्ञानिक और शैक्षिक मॉडल और सिद्धांतों का निर्माण।
(v) डेटा की पार्सिमेनियस व्याख्या के लिए चर / उपाय समूह बनाना।
(vi) बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय परीक्षण करना (होटलिंग टी 2 ; MANOVA, MANCOVA, विवेकाधीन विश्लेषण, कारक विश्लेषण)।
(vii) चरों का अलग प्रभाव।
सहसंबंध के प्रकार:
एक वितरण वितरण में, सहसंबंध हो सकता है:
1. सकारात्मक, नकारात्मक और शून्य सहसंबंध; तथा
2. रैखिक या वक्रता (गैर-रैखिक)।
1. सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य सहसंबंध:
जब एक चर (X) में वृद्धि दूसरे चर (Y) में इसी वृद्धि के बाद होती है; सहसंबंध को सकारात्मक सहसंबंध कहा जाता है। सकारात्मक सहसंबंध 0 से +1 तक होते हैं; ऊपरी सीमा यानी +1 सहसंबंध का पूर्ण सकारात्मक गुणांक है।
सही सकारात्मक सहसंबंध निर्दिष्ट करता है कि, एक चर में प्रत्येक इकाई की वृद्धि के लिए, दूसरे में आनुपातिक वृद्धि होती है। उदाहरण के लिए "हीट" और "टेम्परेचर" में एक सकारात्मक सकारात्मक संबंध है।
यदि, दूसरी ओर, एक चर (X) में वृद्धि दूसरे चर (Y) में इसी कमी के परिणामस्वरूप होती है, तो सहसंबंध को नकारात्मक सहसंबंध कहा जाता है।
नकारात्मक सहसंबंध 0 से लेकर 1 तक होता है; निचली सीमा सही नकारात्मक सहसंबंध दे रही है। सही नकारात्मक सहसंबंध इंगित करता है कि प्रत्येक इकाई के एक चर में वृद्धि के लिए, दूसरे में आनुपातिक इकाई में कमी है।
शून्य सहसंबंध का मतलब दो चर X और Y के बीच कोई संबंध नहीं है; अर्थात एक चर (X) में परिवर्तन दूसरे चर (Y) में परिवर्तन से जुड़ा नहीं है। उदाहरण के लिए, शरीर का वजन और बुद्धि, जूते का आकार और मासिक वेतन; आदि शून्य सहसंबंध श्रेणी का मध्य बिंदु है - 1 से + 1।
2. रैखिक या वक्रता संबंधी सहसंबंध:
रैखिक सहसंबंध दो चर के बीच एक ही दिशा या विपरीत दिशा में परिवर्तन का अनुपात है और दूसरे चर के संबंध में एक चर का चित्रमय प्रतिनिधित्व सीधी रेखा है।
एक और स्थिति पर विचार करें। पहला, एक चर की वृद्धि के साथ, दूसरा चर कुछ बिंदु तक आनुपातिक रूप से बढ़ता है; उसके बाद पहले चर में वृद्धि के साथ दूसरा चर घटने लगता है।
दो चर का चित्रमय प्रतिनिधित्व एक घुमावदार रेखा होगी। दो चर के बीच इस तरह के संबंध को वक्रता संबंध कहा जाता है।
सहसंबंध के कुशल गुणन के तरीके:
बीवरिएट वितरण के अनियंत्रित डेटा की आसानी में, सहसंबंध के सह-कुशल के मूल्य की गणना करने के लिए निम्नलिखित तीन विधियों का उपयोग किया जाता है:
1. स्कैटर आरेख विधि।
2. पियर्सन के उत्पाद पल सहसंबंध का कुशल।
3. स्पीयरमैन का रैंक ऑर्डर सहसंबंध का सह-कुशल।
1. तितर बितर विधि:
स्कैटर आरेख या डॉट आरेख दो चर के बीच संबंध के बारे में कुछ निष्कर्ष निकालने के लिए एक ग्राफिक डिवाइस है।
एक बिखरे आरेख को तैयार करने में, अवलोकन किए गए जोड़े के जोड़े को एक ग्राफ पेपर पर दो आयामी स्थान में एक बिंदु पर क्षैतिज अक्ष के साथ चर एक्स पर और ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ चर वाई पर माप लेकर डॉट्स द्वारा प्लॉट किया जाता है।
ग्राफ़ पर इन बिंदुओं के प्लेसमेंट से चर में परिवर्तन का पता चलता है कि क्या वे समान या विपरीत दिशाओं में बदलते हैं। यह कंप्यूटिंग सहसंबंध का एक बहुत ही आसान, सरल लेकिन मोटा तरीका है।
आवृत्तियों या बिंदुओं को दो श्रृंखलाओं के लिए सुविधाजनक तराजू लेकर एक ग्राफ पर प्लॉट किया जाता है। प्लॉट किए गए बिंदु अपनी डिग्री के अनुसार अधिक या छोटी चौड़ाई के बैंड में ध्यान केंद्रित करेंगे। 'सर्वश्रेष्ठ फिट की रेखा' मुक्त हाथ से खींची गई है और इसकी दिशा सहसंबंध की प्रकृति को इंगित करती है। तितर बितर चित्र, उदाहरण के रूप में, सहसंबंध के विभिन्न डिग्री अंजीर में दिखाए गए हैं। 5.1 और अंजीर। 5.2।
यदि रेखा ऊपर की ओर जाती है और यह ऊपर की ओर बाएँ से दाएँ चलती है तो यह सकारात्मक सहसंबंध दिखाएगा। इसी तरह, अगर रेखाएं नीचे की ओर जाती हैं और इसकी दिशा बाएं से दाएं होती है, तो यह नकारात्मक सहसंबंध दिखाएगा।
ढलान की डिग्री सहसंबंध की डिग्री का संकेत देगी। यदि प्लॉट किए गए बिंदु व्यापक रूप से बिखरे हुए हैं तो यह सहसंबंध की अनुपस्थिति को दिखाएगा। यह विधि केवल 'तथ्य' का वर्णन करती है कि सहसंबंध सकारात्मक या नकारात्मक है।
2. पियर्सन के उत्पाद पल सहसंबंध का कुशल:
सहसंबंध, आर, के गुणांक को अक्सर प्रोफेसर कार्ल पियर्सन के बाद "पियर्सन आर" कहा जाता है, जिन्होंने गैलन और ब्राविस के पहले के काम के बाद उत्पाद-क्षण विधि विकसित की थी।
अनुपात के रूप में सहसंबंध का गुणांक:
सहसंबंध के उत्पाद-क्षण गुणांक को अनिवार्य रूप से उस अनुपात के रूप में सोचा जा सकता है, जो एक चर में परिवर्तन के साथ-साथ या किसी दूसरे चर में निर्भर परिवर्तनों को किस हद तक व्यक्त करता है।
एक उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित सरल उदाहरणों पर विचार करें जो पांच कॉलेज के छात्रों की जोड़ी की ऊंचाई और वजन देता है:
औसत ऊंचाई 69 इंच है, औसत वजन 170 पाउंड है, और ओ क्रमशः 2.24 इंच और ओ 13.69 पाउंड है। कॉलम (4) में प्रत्येक छात्र की माध्य ऊँचाई से ऊँचाई का विचलन (x), और स्तंभ (5) में प्रत्येक छात्र के माध्य भार से विचलन (y) दिया जाता है। कॉलम (6) में इन युग्मित विचलन (xy) का उत्पाद व्यक्तिगत ऊंचाइयों और भार के बीच समझौते का एक उपाय है। Xy कॉलम का योग जितना बड़ा होता है पत्राचार की डिग्री उतनी ही अधिक होती है। ऊपर के उदाहरण में /xy / N का मान 55/5 या 11. है जहाँ पूर्ण समझौता, अर्थात r = ± 1.00, value xy / N का मान अधिकतम सीमा से अधिक है।
इस प्रकार, measure xy / N, x और y के बीच संबंध का एक उपयुक्त माप नहीं देगा। कारण यह है कि ऐसा औसत एक स्थिर उपाय नहीं है, क्योंकि यह उन इकाइयों से स्वतंत्र नहीं है जिनमें ऊंचाई और वजन व्यक्त किया गया है।
परिणाम में, यह अनुपात अलग-अलग होगा यदि इंच और पाउंड के बजाय सेंटीमीटर और किलोग्राम कार्यरत हैं। इकाइयों में अंतर के कुछ मामलों में परेशानी से बचने का एक तरीका यह है कि प्रत्येक विचलन को or स्कोर या मानक स्कोर या Z स्कोर के रूप में व्यक्त किया जाए, अर्थात प्रत्येक x और y को अपने स्वयं के द्वारा विभाजित करें।
प्रत्येक x और y विचलन को तब अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है, और एक शुद्ध संख्या होती है, जो परीक्षण इकाइयों से स्वतंत्र होती है। A स्कोर कॉलम (9) के उत्पादों का योग N पैदावार से विभाजित होता है, जो रिश्ते की एक स्थिर अभिव्यक्ति है। यह अनुपात सहसंबंध का "उत्पाद-क्षण" गुणांक है। हमारे उदाहरण में, .36 का मूल्य इस छोटे नमूने में ऊंचाई और वजन के बीच काफी उच्च सकारात्मक सहसंबंध को दर्शाता है।
छात्र को यह ध्यान देना चाहिए कि हमारा अनुपात या गुणांक केवल संबंधित एक्स और वाई उपायों के corresponding स्कोर का औसत उत्पाद है
आर xy की प्रकृति:
(i) r xy एक उत्पाद क्षण r है
(ii) r xy एक अनुपात है, = r xy ।
(iii) r xy सीमा से + ve या - ve तक सीमित हो सकता है - 1.00 से + 1.00।
(iv) r xy को अंकगणित माध्य माना जा सकता है (r xy मानक स्कोर उत्पादों का माध्य है)।
(v) r xy, X या Y या दोनों पर स्कोर के किसी भी रैखिक परिवर्तन से प्रभावित नहीं होता है।
(vi) जब चर मानक स्कोर रूप में होते हैं, तो r एक इकाई में परिवर्तन की औसत मात्रा का माप एक इकाई से दूसरे चर के परिवर्तन से जुड़ा होता है।
(vii) r xy = yb yx b xy जहां x पर b yx = प्रतिगमन गुणांक, b पर xy = प्रतिगमन गुणांक के ढलानों के Y. r xy = वर्गमूल पर x का प्रतिगमन गुणांक।
(ज) r xy साधनों के परिमाण से प्रभावित नहीं होता है (स्कोर हमेशा सापेक्ष होते हैं)।
(झ) यदि किसी चर में S 2 x या S 2 Y = 0 नहीं है तो r xy की गणना नहीं की जा सकती है
(x) 60 की r xy का तात्पर्य रिश्ते के समान परिमाण ry xy = - .60 से है। संकेत रिश्ते की दिशा, और रिश्ते की मजबूती के बारे में परिमाण के बारे में बताता है।
(xi) r xy के लिए df N - 2 है, जिसका उपयोग r xy के महत्व के परीक्षण के लिए किया जाता है। R का परीक्षण महत्व प्रतिगमन के परीक्षण महत्व है। प्रतिगमन रेखा में ढलान और अवरोधन शामिल होता है, इसलिए 2 डीएफ खो जाता है। इसलिए जब N = 2, r xy या तो + 1.00 या - 1.00 है क्योंकि r के संख्यात्मक मान में नमूना भिन्नता के लिए कोई स्वतंत्रता नहीं है।
ए। Xy की गणना (अनग्रुप्ड डेटा) :
यहां, आर की गणना के लिए सूत्र का उपयोग "जहां विचलन लिया जाता है" पर निर्भर करता है। विभिन्न स्थितियों में विचलन या तो वास्तविक माध्य से या शून्य से लिया जा सकता है या एएम प्रकार का सूत्र आसानी से गुणांक सहसंबंध की गणना के लिए लागू किया जाता है, जो माध्य मान (या तो अंश या संपूर्ण में) पर निर्भर करता है।
(i) आर का सूत्र जब विचलन दो वितरण एक्स और वाई के माध्यम से लिया जाता है ।
जहाँ r xy = X और Y के बीच संबंध
एक्स = टेस्ट एक्स में माध्य से किसी भी एक्स स्कोर का विचलन
y = परीक्षण Y में माध्य से संबंधित Y स्कोर का विचलन।
विचलन (X और Y) के सभी उत्पादों का xy = सम
σ x और = y = एक्स और वाई स्कोर के वितरण के मानक विचलन।
जिसमें x और y वास्तविक साधनों से विचलन कर रहे हैं और arex 2 और arey 2 x और y में दो साधनों से लिए गए वर्ग विचलन के योग हैं।
यह सूत्र पसंद किया जाता है:
मैं। जब दोनों माध्य के मान भिन्न नहीं होते हैं।
ii। जब छोटी, अघोषित श्रृंखला (कहो, पच्चीस मामले या तो) के बीच सहसंबंध का पता लगाने के लिए।
iii। जब विचलन दो वितरणों के वास्तविक साधनों से लिया जाना है।
आवश्यक कदम तालिका 5.1 में चित्रित किए गए हैं। वे यहां भर्ती हैं:
चरण 1:
समतुल्य स्तंभों की जोड़ी एक्स और वाई स्कोर में सूचीबद्ध करें, यह सुनिश्चित करते हुए कि संबंधित स्कोर एक साथ हैं।
चरण 2:
दो का अर्थ है एम एक्स और एम वाई । तालिका 5.1 में, ये क्रमशः 7.5 और 8.0 हैं।
चरण 3:
स्कोर के हर जोड़े के लिए निर्धारित दो विचलन x और y। बीजगणितीय रकम ज्ञात करके उनकी जांच करें, जो शून्य होना चाहिए।
चरण 4:
सभी विचलन को स्क्वायर करें, और दो कॉलम में सूचीबद्ध करें। यह σ x और। Y कंप्यूटिंग के उद्देश्य से है।
चरण 5:
विचलन के वर्गों को Findx 2 और Findy 2 प्राप्त करने के लिए xy उत्पाद ढूंढें और .xy के लिए इन्हें योग करें।
चरण 6:
इन मूल्यों से and x और values y की गणना करें।
एक वैकल्पिक और छोटा समाधान:
एक वैकल्पिक और छोटा मार्ग है जो σ x और should y की गणना को छोड़ देता है, क्या उन्हें किसी अन्य उद्देश्य के लिए आवश्यक नहीं होना चाहिए।
फॉर्मूला (28) लागू करना:
(ii) आर स्कोर की गणना मूल स्कोर या रॉ स्कोर से:
यह अनियंत्रित डेटा के साथ एक अन्य प्रक्रिया है, जिसमें विचलन के उपयोग की आवश्यकता नहीं होती है। यह पूरी तरह से मूल स्कोर से संबंधित है। यह फॉर्मूला मना हो सकता है लेकिन इसे लागू करना बहुत आसान है।
यह सूत्र पसंद किया जाता है:
मैं। जब सीधे कच्चे स्कोर से आर की गणना करने के लिए।
ii। मूल स्कोर फीट। जब डेटा छोटे अनियंत्रित होते हैं।
iii। जब माध्य मान भिन्नों में होते हैं।
iv। जब अच्छी गणना करने वाली मशीन उपलब्ध हो।
एक्स और वाई, चर में मूल स्कोर हैं एक्स और वाई। अन्य प्रतीक बताते हैं कि उनके साथ क्या किया जाता है।
हम तालिका 5.2 में दिए गए चरणों का पालन करते हैं:
चरण 1:
सभी एक्स और वाई माप को स्क्वायर करें।
चरण 2:
हर जोड़े के लिए XY उत्पाद खोजें।
चरण 3:
X, Y, X 2, Y 2 और XY का योग करें।
चरण 4:
फार्मूला लागू करें (29):
(ii) आर xy की गणना जब मान लिया जाता है तो विचलन होता है:
फॉर्मूला (28) स्कोर की दो अनियंत्रित श्रृंखलाओं से सीधे आर की गणना करने में उपयोगी है, लेकिन इसके नुकसान हैं क्योंकि इसके लिए गणना साधनों की "लंबी विधि" की आवश्यकता होती है। वास्तविक साधनों से लिया गया विचलन x और y आमतौर पर दशमलव होते हैं और इन मूल्यों का गुणा और भाग अक्सर एक थकाऊ कार्य है।
इस कारण से - जब भी छोटी अनगढ़ मंडली के साथ काम किया जाता है — तो अक्सर अर्थ ग्रहण करना आसान हो जाता है, इन एएम से विचलन की गणना करें और सूत्र लागू करें (30)।
यह सूत्र पसंद किया जाता है:
मैं। जब वास्तविक साधन आमतौर पर दशमलव होते हैं और इन मूल्यों का गुणा और भाग अक्सर एक थकाऊ काम होता है।
ii। जब एएम से विचलन लिया जाता है।
iii। जब हमें भिन्नों से बचना है।
कंप्यूटिंग आर के चरणों की रूपरेखा निम्नानुसार हो सकती है:
चरण 1:
टेस्ट 1 (X) का मतलब और टेस्ट 2 (Y) का मतलब खोजें। क्रमशः तालिका 5.3 एम एक्स = 62.5 और एम वाई = 30.4 में दिखाया गया है।
चरण 2:
X और Y दोनों में से AM यानी AM X को 60.0 और AM Y को 30.0 के रूप में चुनें।
चरण 3:
अपने एएम, 60.0 से टेस्ट 1 पर प्रत्येक स्कोर का विचलन खोजें, और इसे कॉलम x में दर्ज करें। ' इसके बाद टेस्ट 2 में प्रत्येक अंक के विचलन को अपने AM, 30.0 से ढूंढें और इसे कॉलम y में दर्ज करें। '
चरण 4:
सभी x 'और उन सभी को' वर्गित करें और क्रमशः कॉलम x ' 2 और y' 2 में इन वर्गों को दर्ज करें। कुल इन स्तंभों को ' 2 ' और ' 2 ' प्राप्त करने के लिए।
चरण 5:
X'y और x 'को गुणा करें, और x'y' कॉलम में इन उत्पादों (साइन के लिए उचित संबंध के साथ) दर्ज करें। कुल x'y 'कॉलम, ofx'y प्राप्त करने के लिए, संकेतों को ध्यान में रखते हुए।
चरण 6:
सुधार, C x और C y, M x से AM X और AM y से AM x घटाकर पाए जाते हैं। फिर, C x को 2.5 (62.5 - 60.0) और C y को .4 (30.4 - 30.0) के रूप में पाया।
चरण 7:
X'y ', 334, 2x' 2, 670 के लिए और'y ' 2, 285 के लिए सूत्र (30) के लिए, जैसा कि तालिका 5.3 में दिखाया गया है, और r xy के लिए हल करें ।
आर के गुण:
1. सहसंबंध आर के गुणांक का मान अपरिवर्तित रहता है जब एक या दोनों चर में एक स्थिरांक जोड़ा जाता है:
गुणांक सहसंबंध r पर प्रभाव का निरीक्षण करने के लिए जब एक या दोनों चर में एक स्थिरांक जोड़ा जाता है, तो हम एक उदाहरण पर विचार करते हैं।
अब, हम X के प्रत्येक स्कोर में 10 और Y के प्रत्येक अंक में 10 का स्कोर जोड़ते हैं और क्रमशः X 'और Y' द्वारा इन अंकों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
गणना के मूल और नए जोड़े के लिए कंप्यूटिंग आर की गणना तालिका 5.4 में दी गई है:
सूत्र का उपयोग करके (29), मूल अंक के सहसंबंध का गुणांक होगा:
नए अंकों के लिए एक ही सूत्र के रूप में लिखा जा सकता है:
इस प्रकार, हम मानते हैं कि सहसंबंध r के गुणांक का मान अपरिवर्तित रहता है जब एक या दोनों चर में एक स्थिरांक जोड़ा जाता है।
2. जब एक स्थिरांक एक या दोनों चर से घटाया जाता है, तो सहसंबंध r के गुणांक का मान अपरिवर्तित रहता है:
छात्र इसका उदाहरण लेकर जांच कर सकते हैं। जब एक या दोनों चर के प्रत्येक अंक को सहसंबद्धता के गुणांक द्वारा घटाया जाता है तो r भी अपरिवर्तित रहता है।
3. सहसंबंध r के गुणांक का मान तब बना रहता है जब किसी एक या दोनों प्रकार के परिवर्तनशील मानों को कुछ स्थिरांक से गुणा किया जाता है:
आर के मूल्य पर कुछ स्थिर से चर को गुणा करने के प्रभाव का निरीक्षण करने के लिए, हम मनमाने ढंग से पिछले उदाहरण में पहले और दूसरे सेट के मूल स्कोर को क्रमशः 10 और 20 से गुणा करते हैं।
X 'और Y' के बीच की गणना तब निम्नानुसार की जा सकती है:
X 'और Y' के बीच गुणांक का सहसंबंध होगा:
इस प्रकार, हम मानते हैं कि सहसंबंध r के गुणांक का मान अपरिवर्तित रहता है जब एक स्थिरांक मान के एक या दोनों सेट से गुणा किया जाता है।
4. r का मान तब भी अपरिवर्तित रहेगा जब तक कि एक या दोनों प्रकार के भिन्न मान कुछ स्थिरांक से विभाजित न हों:
छात्र इसका उदाहरण लेकर जांच कर सकते हैं।
B. समूहीकृत डेटा में सहसंबंध का गुणांक :
जब दो चरों X और Y पर मापों (N) के जोड़े की संख्या बड़ी, आकार में भी मध्यम होती है, और जब कोई गणना करने वाली मशीन उपलब्ध नहीं होती है, तो प्रथागत प्रक्रिया X और Y दोनों में डेटा को समूहीकृत करने और एक बिखरे चित्र बनाने के लिए होती है। या सहसंबंध आरेख जिसे दो-तरफ़ा आवृत्ति वितरण या द्विभाजित आवृत्ति वितरण भी कहा जाता है।
वर्ग अंतराल के आकार और अंतराल की सीमा का चुनाव बहुत अधिक नियमों का पालन करता है जैसा कि पहले दिया गया था। विचार को स्पष्ट करने के लिए, हम भौतिकी और गणित की परीक्षा में 20 छात्रों की एक कक्षा द्वारा अर्जित अंकों के साथ संबंधित एक द्विभाजित डेटा पर विचार करते हैं।
स्कैटर आरेख तैयार करना:
डेटा के दोहरे समूह की स्थापना में, स्तंभों और पंक्तियों के साथ एक तालिका तैयार की जाती है। यहाँ, हम दो वर्गों में प्रत्येक जोड़ी को एक साथ वर्गीकृत करते हैं, एक भौतिकी (X) में स्कोर का प्रतिनिधित्व करता है और दूसरा गणित (Y) में जैसा कि तालिका 5.6 में दिखाया गया है।
भौतिकी (एक्स) और गणित (वाई) दोनों में 20 छात्रों के अंक नीचे तालिका में दिखाए गए हैं:
हम आसानी से प्रत्येक जोड़ी के स्कोर के लिए लम्बे डालकर एक द्विभाजन आवृत्ति वितरण तालिका तैयार कर सकते हैं। एक स्कैग्राम का निर्माण काफी सरल है। हमें एक तालिका तैयार करनी होगी जैसा कि ऊपर चित्र में दिखाया गया है।
बाएं हाथ के मार्जिन के साथ एक्स-वितरण के वर्ग अंतराल को नीचे से ऊपर (आरोही क्रम में) में रखा गया है। आरेख के शीर्ष के साथ c.i का Y- वितरण बाईं से दाईं ओर (आरोही क्रम में) स्थित है।
प्रत्येक जोड़ी के अंक (एक्स और वाई दोनों में) संबंधित सेल में एक टैली के माध्यम से दर्शाए जाते हैं। नंबर 1 छात्र ने भौतिकी (एक्स) में 32 और गणित (वाई) में 25 अंक हासिल किए हैं। उनका (32) अंक का स्कोर अंतिम पंक्ति में है और 25 (वाई) उन्हें दूसरे कॉलम में रखता है। तो, स्कोर (32, 25) की जोड़ी के लिए 5 वीं पंक्ति के दूसरे कॉलम में एक टैली को चिह्नित किया जाएगा।
इसी तरह से, अंक 2 (34, 41) के लिए नंबर 2 के छात्र के मामले में, हम 5 वीं पंक्ति के 4 वें कॉलम में एक टैली डालेंगे। इसी तरह, 20 पंक्तियों को संबंधित पंक्तियों और स्तंभों में रखा जाएगा। (पंक्तियाँ एक्स-स्कोर का प्रतिनिधित्व करेंगी और कॉलम वाई-स्कोर का प्रतिनिधित्व करेंगे)।
दाएँ हाथ के मार्जिन के साथ f x कॉलम, X-वितरण के प्रत्येक ci में मामलों की संख्या सारणीबद्ध होती है और f y पंक्ति में आरेख के नीचे प्रत्येक ci में मामलों की संख्या, Y- वितरण की होती है सारणीबद्ध।
F x कॉलम का कुल योग 20 है और f y पंक्ति का कुल योग भी 20 है। यह वास्तव में एक द्वि-चर वितरण है क्योंकि यह दो चर के संयुक्त वितरण का प्रतिनिधित्व करता है। बिखराव तब एक "सहसंबंध तालिका" है।
सहसंबंध तालिका से r की गणना:
आर की गणना में अपनाए जाने वाले चरणों की निम्नलिखित रूपरेखा को सबसे अच्छी तरह से समझा जा सकता है यदि छात्र प्रत्येक चरण के माध्यम से पढ़ते हुए तालिका 5.7 का लगातार उल्लेख करेगा:
चरण 1:
दो वेरिएबल्स को सहसंबद्ध करने के लिए एक स्कैग्राम का निर्माण करें, और इससे एक सहसंबंध तालिका तैयार होती है।
चरण 2:
वितरण के प्रत्येक ci की आवृत्तियों को गिनें - X और इसे f x कॉलम में लिखें। वितरण के प्रत्येक ci के लिए आवृत्तियों की गणना करें - Y और f y पंक्ति भरें।
चरण 3:
एक्स-डिस्ट्रीब्यूशन के लिए एक साधन मान लें और सी को डबल लाइनों में चिह्नित करें। दी गई सहसंबंध तालिका में, हम ci, 40 - 49 पर माध्य मान लेते हैं और तालिका में दिखाए अनुसार दोहरी रेखाएँ डालते हैं। AM की रेखा के ऊपर विचलन (+ ve) होगा और इसके नीचे विचलन (- ve) होगा।
एएम की लाइन के खिलाफ विचलन, अर्थात, ci के खिलाफ जहां हमने माना है कि 0 (शून्य) चिह्नित है और इसके ऊपर d की +1, +2 के रूप में उल्लेख किया गया है। 13 और उसके नीचे d का उल्लेख है - 1. अब dx कॉलम भरा हुआ है। फिर x गुणा करें। और fdx प्राप्त करने के लिए प्रत्येक पंक्ति का dx । एफडीएक्स 2 प्राप्त करने के लिए प्रत्येक पंक्ति के dx और fxx को गुणा करें।
[नोट: मान्य अर्थ पद्धति में SD की गणना करते समय हम एक मतलब मान रहे थे, जो d और कंप्यूटिंग fd और fd 2 को चिह्नित कर रहा था। यहां भी यही प्रक्रिया अपनाई जाती है।]
चरण 4:
चरण 3 के रूप में एक ही प्रक्रिया को अपनाएं और डाई, फ्राइ और फी 2 की गणना करें। वितरण-वाई के लिए, आइए हम ci 20-29 में माध्य मान लें और तालिका में दिखाए अनुसार कॉलम को चिह्नित करने के लिए दोहरी लाइनें डालें। इस स्तंभ के बाईं ओर के विचलन नकारात्मक होंगे और दाएं सकारात्मक होंगे।
इस प्रकार, जहां अर्थ ग्रहण किया गया है उस स्तंभ के लिए d को 0 (शून्य) चिह्नित किया गया है और उसके बाईं ओर d को चिह्नित किया गया है - 1 और d के दाईं ओर चिह्नित हैं +1, +2 और +3। अब डाई कॉलम भर गया है। Fdy पाने के लिए प्रत्येक कॉलम के fy और डाई के मूल्यों को गुणा करें। प्रत्येक कॉलम को डाई और फी के मूल्यों को गुणा करें ताकि fdy 2 प्राप्त हो सके ।
चरण 5:
चूंकि यह चरण एक महत्वपूर्ण है, इसलिए हमें डिस्ट्रीब्यूशन के विभिन्न डि के लिए डाई की गणना के लिए सावधानी से मार्क करना है और डिस्ट्रीब्यूशन के अलग-अलग सी-वाई के लिए डीएक्स है ।
डिस्ट्रीब्यूशन-X के विभिन्न ci के लिए डाई: पहली पंक्ति में, 1 f कॉलम के नीचे है, 20-29 जिसकी डाई 0 है (नीचे की ओर देखें। इस पंक्ति की डाई प्रविष्टि 0 है)। फिर से 1 एफ कॉलम के नीचे है, 40- 49 जिसका डाई + 2 है। इसलिए पहली पंक्ति के लिए डाई = (1 x 0) + (1 x 2) = + 2।
दूसरी पंक्ति में हम पाते हैं कि:
1 च स्तंभ के नीचे है, 40-49 जिसकी डाई + 2 और है
2 f s कॉलम के नीचे हैं, 50-59 जिनके डाई प्रत्येक 3 हैं।
तो दूसरी पंक्ति के लिए डाई = (१ एक्स २) + (२ एक्स ३) = =।
तीसरी पंक्ति में,
2 f s कॉलम के अंतर्गत हैं, 20-29 जिसका डाई प्रत्येक 0 है,
2 f s कॉलम के नीचे हैं, 40-49 जिनका डाई प्रत्येक में +2 है, और 1 f कॉलम के नीचे है, 50-59 जिसका डाई +3 है।
तो तीसरी पंक्ति = (2 x 0) + (2 x 2) + (1 X 3) = 7 के लिए डाई।
4 वीं पंक्ति में,
3 f s कॉलम के अंतर्गत हैं, 20-29 जिसका डाई 0 प्रत्येक है,
2 f s कॉलम के नीचे हैं, 30-39 जिनकी डाई +1 है, और 1 f कॉलम के नीचे है, 50-59 जिसका डाई + 3 है,
तो चौथी पंक्ति = (3 X 0) + (2 X 1) + (1 x 3) = 5 के लिए डाई।
इसी तरह 5 वीं पंक्ति में
5 वीं पंक्ति के लिए डाई = (2 x - 1) + (1 x 0) + (1 x 2) = 0
विभिन्न ci के लिए dx, 'वितरण का v - Y:
पहले कॉलम में,
2 च s पंक्ति के विरुद्ध हैं, 30-39 जिसका dx है - 1।
तो 1 कॉलम का dx = (2 x - 1) = - 2
दूसरे कॉलम में,
1 एफ ci के खिलाफ है, 70-79 जिसका dx +3 है,
2 f s ci के विरुद्ध हैं, 50-59 जिनके dx +1 हैं,
3 f s ci के विरुद्ध हैं, 40-49 जिनकी dx '0 प्रत्येक हैं,
1 च ci के खिलाफ है, 30-39 जिसका dx है - 1।
तो 2 कॉलम के लिए dx = (1 x 3) + (2 X 1) + (3 X 0) + (1 x - 1) = 4. तीसरे कॉलम में
3 कॉलम के लिए dx = 2 × 0 = 0
चौथे कॉलम में,
4 वें कॉलम के लिए dx = (1 x 3) + (1 x 2) + (2 x 1) + (1 x - 1) = 6।
पांचवें कॉलम में,
5 वें कॉलम के लिए dx = (2 x 2) + (1 x 1) + (1 X 0) = 5।
चरण 6:
अब, वितरण की प्रत्येक पंक्ति dx.dy की गणना करें - प्रत्येक पंक्ति के डाई प्रविष्टियों द्वारा प्रत्येक पंक्ति के dx प्रविष्टियों को गुणा करके X। फिर वितरण के प्रत्येक कॉलम के लिए dx.dy की गणना करें - प्रत्येक कॉलम के dx प्रविष्टियों द्वारा प्रत्येक कॉलम की डाई प्रविष्टियों को गुणा करके वाई।
चरण 7:
अब, कॉलम fdx, fdx 2, dy और dx.dy (वितरण के लिए - X) के मूल्यों का बीजगणितीय योग लें । पंक्तियों के मानों के बीजगणितीय योग को लें fdy, fdy 2, dx और dx.dy (सूची के लिए -)
चरण 8:
Σ। x- वितरण का dx.dy = Y- वितरण का dy dx.dy
∑ fdx = कुल dx पंक्ति (यानी ∑ dx )
∑ फीडी = डाई कॉलम का कुल (यानी) डाई )
चरण 9:
प्रतीकों के मान मिले
= Fdx = 13, = fd 2 x = 39
Y fdy = 22, 22 fd 2 y = 60
Dy dx.dy = 29 और एन = 20।
एक सहसंबंध तालिका में सहसंबंध के गुणांक की गणना करने के लिए निम्न सूत्र लागू किया जा सकता है:
हम यह संकेत दे सकते हैं कि सूत्र के हर (31) में हम x और y के लिए सूत्र को i के अपवाद के साथ लागू करते हैं। हम यहाँ ध्यान दें कि C x, C y, σ x, all v सभी वर्ग अंतराल (यानी, की इकाई में) की इकाइयों में व्यक्त किए गए हैं। इस प्रकार, and x और, y की गणना करते समय, कोई i का उपयोग नहीं किया जाता है। यह वांछनीय है क्योंकि सभी उत्पाद विचलन यानी। Dx.dy की अंतराल इकाइयों में हैं।
इस प्रकार, हम गणना करते हैं:
सहसंबंध की गुणांक की व्याख्या:
सहसंबंध की उचित गणना का तब तक कोई महत्व नहीं है जब तक हम यह निर्धारित नहीं करते हैं कि गुणांक कितना बड़ा होना चाहिए ताकि महत्वपूर्ण हो, और सहसंबंध हमें डेटा के बारे में क्या बताता है? सहसंबंध के गुणांक के प्राप्त मूल्य से हमारा क्या मतलब है?
सहसंबंध के गुणांक की गलत व्याख्या:
कभी-कभी, हम सहसंबंध के गुणांक के मूल्य की गलत व्याख्या करते हैं और कारण और प्रभाव संबंध स्थापित करते हैं, अर्थात एक चर दूसरे चर में भिन्नता पैदा करता है। वास्तव में हम इस तरह से व्याख्या नहीं कर सकते जब तक कि हमारे पास तार्किक आधार न हो।
सहसंबंध गुणांक हमें दो चर एक्स और वाई के बीच संबंध की डिग्री का एक मात्रात्मक निर्धारण देता है, न कि दो चर के बीच संबंध की प्रकृति के बारे में जानकारी। कारण का अर्थ है एक अपरिवर्तनीय अनुक्रम- A हमेशा B की ओर जाता है, जबकि सहसंबंध बस दो चर के बीच पारस्परिक जुड़ाव का एक उपाय है।
उदाहरण के लिए दुर्भावना और चिंता के बीच एक उच्च संबंध हो सकता है:
लेकिन उच्च सहसंबंध के आधार पर हम यह नहीं कह सकते कि कुप्रबंधन चिंता का कारण बनता है। यह संभव हो सकता है कि उच्च चिंता दुर्भावना का कारण है। इससे पता चलता है कि कुप्रबंधन और चिंता पारस्परिक रूप से जुड़े चर हैं। एक अन्य उदाहरण पर विचार करें।
स्कूल में एक विषय में योग्यता और विषय में उपलब्धि के बीच एक उच्च संबंध है। स्कूल की परीक्षाओं के अंत में यह कार्य-कारण संबंध को दर्शाएगा? यह हो भी सकता है और नहीं भी।
विषय के अध्ययन में योग्यता निश्चित रूप से विषय की उपलब्धि में भिन्नता का कारण बनती है, लेकिन विषय में छात्र की उच्च उपलब्धि केवल उच्च योग्यता का परिणाम नहीं है; यह अन्य चर के कारण भी हो सकता है।
इस प्रकार, जब कारण और प्रभाव के संदर्भ में सह-संबद्धता के आकार की व्याख्या करना उचित है, यदि और केवल यदि जांच के तहत चर इस तरह की व्याख्या के लिए एक तार्किक आधार प्रदान करते हैं।
सहसंबंध गुणांक के आकार को प्रभावित करने वाले कारक:
हमें निम्नलिखित कारकों के बारे में भी जानकारी होनी चाहिए जो सहसंबंध के गुणांक के आकार को प्रभावित करते हैं और गलत व्याख्या कर सकते हैं:
1. "आर" का आकार सहसंबद्ध नमूने में मापा मूल्यों की परिवर्तनशीलता पर बहुत निर्भर है। परिवर्तनशीलता जितनी अधिक होगी, संबंध उतना ही अधिक होगा, बाकी सब समान होगा।
2. 'आर' का आकार बदल दिया जाता है, जब एक अन्वेषक विषयों के एक चरम समूह का चयन करता है ताकि इन समूहों की तुलना निश्चित व्यवहार के संबंध में की जा सके। चरम समूहों के संयुक्त डेटा से प्राप्त "आर" एक ही समूह के यादृच्छिक नमूने से प्राप्त "आर" से बड़ा होगा।
3. समूह से चरम मामलों को जोड़ने या छोड़ने से "आर" के आकार में परिवर्तन हो सकता है। चरम मामले को जोड़ने से सहसंबंध का आकार बढ़ सकता है, जबकि चरम मामलों को छोड़ने से "आर" का मूल्य कम हो जाएगा।
उत्पाद पल r का उपयोग:
सहसंबंध शैक्षिक और मनोवैज्ञानिक मापन और मूल्यांकन के क्षेत्र में सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली विश्लेषणात्मक प्रक्रियाओं में से एक है। यह इसमें उपयोगी है:
मैं। दो चर के बीच पत्राचार (या संबंध) की डिग्री का वर्णन करना।
ii। एक चर की भविष्यवाणी - स्वतंत्र चर के आधार पर आश्रित चर।
iii। एक परीक्षण मान्य करना; जैसे, समूह बुद्धि परीक्षण।
iv। एक परीक्षण की निष्पक्षता की डिग्री का निर्धारण।
v। शैक्षिक और व्यावसायिक मार्गदर्शन और निर्णय लेने में।
vi। परीक्षण की विश्वसनीयता और वैधता का निर्धारण।
vii। एक निश्चित क्षमता के लिए विभिन्न सहसंबंधों की भूमिका का निर्धारण।
viii। मानव क्षमताओं में अंतर्निहित चर के लोडिंग के निर्धारण के लिए कारक विश्लेषण तकनीक।
उत्पाद पल r की मान्यताओं :
1. सामान्य वितरण:
वे चर जिनसे हम सहसंबंध की गणना करना चाहते हैं, उन्हें सामान्य रूप से वितरित किया जाना चाहिए। अनुमान यादृच्छिक नमूनाकरण से लगाया जा सकता है।
2. रैखिकता:
उत्पाद-पल सहसंबंध को सीधी रेखा में दिखाया जा सकता है जिसे रैखिक सहसंबंध के रूप में जाना जाता है।
3. निरंतर श्रृंखला:
निरंतर श्रृंखला पर चर का मापन।
4. समरूपता:
यह समरूपता (समान परिवर्तनशीलता) की स्थिति को पूरा करना चाहिए।
3. स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांक:
शिक्षा और मनोविज्ञान की कुछ स्थितियाँ हैं, जहाँ वस्तुओं या व्यक्तियों को दो चर पर योग्यता या प्रवीणता के क्रम में क्रमबद्ध और व्यवस्थित किया जा सकता है और जब ये 2 सेट कोवरी बनते हैं या उनके बीच समझौता होता है, तो हम रैंक सहसंबंध के संबंध की डिग्री को मापते हैं ।
फिर, ऐसी समस्याएं हैं जिनमें किए गए मापों के बीच संबंध गैर-रैखिक है, और उत्पाद-क्षण आर द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, नेतृत्व क्षमता के आधार पर छात्रों के एक समूह का मूल्यांकन, एक सौंदर्य प्रतियोगिता में महिलाओं का क्रम, वरीयता क्रम में क्रमबद्ध छात्रों या चित्रों को उनके सौंदर्य मूल्यों के अनुसार क्रमबद्ध किया जा सकता है। कर्मचारियों को नौकरी के प्रदर्शन पर पर्यवेक्षकों द्वारा रैंक-आदेश दिया जा सकता है।
सामाजिक समायोजन पर शिक्षकों द्वारा स्कूली बच्चों की रैंकिंग की जा सकती है। ऐसे मामलों में वस्तुओं या व्यक्तियों को दो चर पर योग्यता या प्रवीणता के क्रम में रैंक और व्यवस्थित किया जा सकता है। स्पीयरमैन ने रैंक के 2 सेटों के बीच सहसंबंध की सीमा या डिग्री को मापने के लिए रैंक सहसंबंध गुणांक नामक एक सूत्र विकसित किया है।
सहसंबंध के इस गुणांक को ग्रीक अक्षर ρ (जिसे Rho कहा जाता है) द्वारा निरूपित किया गया है और निम्नानुसार दिया गया है:
जहां, ρ = rho = स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांक
डी = बनती रैंक के बीच अंतर (प्रत्येक मामले में)
एन = वस्तुओं / व्यक्तियों की कुल संख्या।
Rho के लक्षण (ρ):
1. रैंक सहसंबंध में गुणांक द्विभाजित चर का अवलोकन या माप रैंक के रूप में क्रमिक पैमाने पर आधारित है।
2. गुणांक का आकार रैंक के अंतर के आकार से सीधे प्रभावित होता है।
(ए) यदि रैंक दोनों परीक्षणों के लिए समान हैं, तो प्रत्येक रैंक अंतर शून्य होगा और अंततः डी 2 शून्य होगा। इसका मतलब है कि सहसंबंध परिपूर्ण है; यानी 1.00।
(ख) यदि रैंक अंतर बहुत बड़ा है, और अंश एक से अधिक है, तो सहसंबंध नकारात्मक होगा।
Rho की मान्यताओं (ρ):
मैं। N छोटा है या डेटा बुरी तरह से तिरछा है।
ii। वे जनसंख्या वितरण की कुछ विशेषताओं से मुक्त, या स्वतंत्र हैं।
iii। कई स्थितियों में रैंकिंग विधियों का उपयोग किया जाता है, जहां मात्रात्मक माप उपलब्ध नहीं हैं।
iv। हालांकि मात्रात्मक माप उपलब्ध हैं, अंकगणितीय श्रम को कम करने के लिए रैंक प्रतिस्थापित किया जाता है।
v। ऐसे परीक्षणों को गैर-पैरामीट्रिक के रूप में वर्णित किया जाता है।
vi। ऐसे मामलों में डेटा में क्रमिक संख्याओं के सेट शामिल होते हैं, पहला, दूसरा, तीसरा… .नहीं। गणना के प्रयोजनों के लिए इन्हें कार्डिनल नंबर 1, 2, 3, ………, N से बदल दिया जाता है। क्रमिक संख्याओं के लिए कार्डिनल संख्याओं का प्रतिस्थापन हमेशा अंतराल की समानता को मानता है।
I. टेस्ट स्कोर से ρ की गणना:
उदाहरण 1:
निम्नलिखित डेटा क्रमशः गणित और सामान्य विज्ञान में 5 छात्रों के स्कोर देते हैं:
रैंक अंतर विधि द्वारा परीक्षण स्कोर की दो श्रृंखलाओं के बीच सहसंबंध की गणना करें।
गणित और सामान्य विज्ञान में अंकों के बीच सहसंबंध के गुणांक का मूल्य सकारात्मक और मध्यम है।
सहसंबंध के स्पीयरमैन के सह-गणना की चरण:
चरण 1:
कॉलम 1 में छात्रों, नामों या उनके सीरियल नंबर को सूचीबद्ध करें।
चरण 2:
कॉलम 2 और 3 में प्रत्येक छात्र या व्यक्ति के टेस्ट I और II में स्कोर लिखें।
चरण 3:
कॉलम 2 के स्कोर का एक सेट लें और उच्चतम स्कोर 1 की रैंक प्रदान करें, जो कि 9 है, अगले उच्चतम स्कोर के लिए 2 की रैंक जो 8 और इसी तरह, जब तक कि सबसे कम स्कोर को एन के बराबर रैंक न मिल जाए; जो 5 है।
चरण 4:
कॉलम 3 के स्कोर का II सेट लें, और रैंक 1 को उच्चतम स्कोर प्रदान करें। दूसरे सेट में उच्चतम स्कोर 10 है; hence obtain rank 1. The next highest score of B student is 8; hence his rank is 2. The rank of student C is 3, the rank of E is 4, and the rank of D is 5.
चरण 5:
Calculate the difference of ranks of each student (column 6).
चरण 6:
Check the sum of the differences recorded in column 6. It is always zero.
चरण 7:
Each difference of ranks of column 6 is squared and recorded in column 7. Get the sum ∑D 2 .
Step 8:
Put the value of N and 2D 2 in the formula of Spearman's co-efficient of correlation.
2. Calculating from Ranked Data:
उदाहरण 2:
In a speech contest Prof. Mehrotra and Prof. Shukla, judged 10 pupils. Their judgements were in ranks, which are presented below. Determine the extent to which their judgements were in agreement.
The value of co-efficient of correlation is + .83. This shows a high degree of agreement between the two judges.
3. Calculating ρ (Rho) for tied Ranks:
उदाहरण 3:
The following data give the scores of 10 students on two trials of test with a gap of 2 weeks in Trial I and Trial II.
Compute the correlation between the scores of two trials by rank difference method:
The correlation between Trial I and II is positive and very high. Look carefully at the scores obtained by the 10 students on Trial I and II of the test.
Do you find any special feature in the scores obtained by the 10 students? Probably, your answer will be “yes”.
In the above table in column 2 and 3 you will find that more than one students are getting the same scores. In column 2 students A and G are getting the same score viz. 10. In column 3, the students A and B, C and F and G and J are also getting the same scores, which are 16, 24 and 14 respectively.
Definitely these pairs will have the same ranks; known as Tied Ranks. The procedure of assigning the ranks to the repeated scores is somewhat different from the non-repeated scores.
Look at column 4. Student A and G have similar scores of 10 each and they possess 6th and 7th rank in the group. Instead of assigning the 6th and 7th rank, the average of the two rank ie 6.5 (6 + 7/2 = 13/2) has been assigned to each of them.
The same procedure has been followed in respect of scores on Trial II. In this case, ties occur at three places. Students C and F have the same score and hence obtain the average rank of (1 + 2/2 = 1.5). Student A and B have rank position 5 and 6; hence are assigned 5.5 (5 + 6/2) rank each. Similarly student G and J have been assigned 7.5 (7 + 8/2) rank each.
If the values are repeated more than twice, the same procedure can be followed to assign the ranks:
उदाहरण के लिए:
if three students get a score of 10, at 5th, 6th and 7th ranks, each one of them will be assigned a rank of 5 + 6 + 7/3= 6.
The rest of the steps of procedure followed for calculation of ρ (rho) are the same as explained earlier.
Interpretation:
The value of ρ can also be interpreted in the same way as Karl Pearson's Coefficient of Correlation. It varies between -1 and + 1. The value + 1 stands for a perfect positive agreement or relationship between two sets of ranks while ρ = – 1 implies a perfect negative relationship. In case of no relationship or agreement between ranks, the value of ρ = 0.
Advantages of Rank Difference Method:
1. The Spearman's Rank Order Coefficient of Correlation computation is quicker and easier than (r) computed by the Pearson's Product Moment Method.
2. It is an acceptable method if data are available only in ordinal form or number of paired variable is more than 5 and not greater than 30 with minimum or a few ties in ranks.
3. It is quite easy to interpret p.
सीमाएं:
1. When the interval data are converted into rank-ordered data the information about the size of the score differences is lost; eg in the Table 5.10, if D in Trial II gets scores from 18 up to 21, his rank remains only 4.
2. If the number of cases are more, giving ranks to them becomes a tedious job.
