4 फैलाव के सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले उपाय
उपायों के एक सेट के भीतर परिवर्तनशीलता (या फैलाव) को इंगित करने के लिए आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले चार उपाय हैं। वे हैं: 1. सीमा 2. चतुर्थक विचलन 3. औसत विचलन 4. मानक विचलन।
उपाय # 1. रेंज:
रेंज उच्चतम और निम्नतम स्कोर के बीच का अंतराल है। रेंज एक-दूसरे की परिवर्तनशीलता या बिखराव की माप है या आपस में अवलोकनों और कुछ केंद्रीय मूल्य के आस-पास टिप्पणियों के प्रसार के बारे में एक विचार नहीं देता है।
प्रतीकात्मक रूप से R = Hs - Ls। जहां आर = रेंज;
Hs 'उच्चतम स्कोर' है और Ls सबसे निचला स्कोर है।
रेंज की गणना (अनग्रुप्ड डेटा):
उदाहरण 1:
एक परीक्षण में दस लड़कों के स्कोर हैं:
17, 23, 30, 36, 45, 51, 58, 66, 72, 77।
उदाहरण 2:
एक परीक्षण में दस लड़कियों के स्कोर हैं:
48, 49, 51, 52, 55, 57, 50, 59, 61, 62।
उदाहरण में मैं उच्चतम स्कोर 77 और सबसे कम स्कोर 17 है।
तो सीमा इन दो अंकों के बीच का अंतर है:
। । । रेंज = 77 - 17 = 60
इसी तरह से, उदाहरण II में
रेंज = 62 - 48 = 14
यहाँ हम पाते हैं कि लड़कों के अंक व्यापक रूप से बिखरे हुए हैं। इस प्रकार लड़कों के स्कोर बहुत भिन्न होते हैं लेकिन लड़कियों के स्कोर बहुत भिन्न नहीं होते हैं (बेशक वे कम भिन्न होते हैं)। इस प्रकार लड़कों के अंकों की परिवर्तनशीलता लड़कियों के अंकों की परिवर्तनशीलता से अधिक है।
रेंज की गणना (समूहीकृत डेटा):
उदाहरण 3:
निम्नलिखित वितरण में डेटा की सीमा ज्ञात करें:
उपाय:
इस मामले में, उच्चतम श्रेणी 70-79 की ऊपरी वास्तविक सीमा Hs = 79.5 है और निम्नतम श्रेणी 20-29 की निचली वास्तविक सीमा Ls = 19.5 है।
इसलिए, रेंज आर = एचएस - एलएस
= 79.5 - 19.5 = 60.00
रेंज परिवर्तनशीलता का एक सूचकांक है। जब रेंज अधिक होती है तो समूह अधिक परिवर्तनशील होता है। समूह जितना छोटा होता है, उतना ही समरूप समूह होता है। रेंज स्कोर (या माप) के 'प्रसार' या 'बिखरने' का सबसे सामान्य उपाय है। जब हम दो या दो से अधिक समूहों की परिवर्तनशीलता की तुलना करना चाहते हैं, तो हम सीमा की गणना कर सकते हैं।
ऊपर की तुलना में सीमा एक कच्चे रूप में है या फैलाव का एक पूर्ण उपाय है और तुलना के प्रयोजनों के लिए अयोग्य है, खासकर जब श्रृंखला दो अलग-अलग इकाइयों में होती है। तुलना के उद्देश्य के लिए, सीमा के गुणांक की गणना सबसे बड़ी और सबसे छोटी वस्तुओं के योग द्वारा सीमा को विभाजित करके की जाती है।
लाभ:
1. रेंज की गणना काफी आसानी से की जा सकती है।
2. यह फैलाव का एक सरलतम उपाय है।
3. इसकी गणना तब की जाती है जब हम परिवर्तनशीलता के दो या दो से अधिक ग्राफ की तुलना करना चाहते हैं।
सीमाएं:
1. रेंज श्रृंखला के सभी अवलोकनों पर आधारित नहीं है। यह केवल सबसे चरम मामलों को ध्यान में रखता है।
2. यह हमें परिवर्तनशीलता के दो या दो से अधिक समूहों की तुलना करने में मदद करता है।
3. सीमा एक श्रृंखला में दो चरम स्कोर को ध्यान में रखती है।
इस प्रकार जब एन छोटा होता है या जब आवृत्ति वितरण में बड़े अंतराल होते हैं, तो परिवर्तनशीलता के एक उपाय के रूप में सीमा काफी अविश्वसनीय होती है।
उदाहरण 4:
समूह A - 3, 5, 8, 11, 20, 22, 27, 33 के स्कोर
यहाँ रेंज = 33 - 3 = 30
समूह B के अंक - 3, 5, 8, 11, 20, 22, 27, 93
यहाँ रेंज = 93 - 3 = 90।
बस समूह ए और समूह बी में स्कोर की श्रृंखला की तुलना करें। समूह ए में यदि एकल स्कोर 33 (अंतिम स्कोर) को 93 में बदल दिया जाता है, तो रेंज व्यापक रूप से बदल जाती है। इस प्रकार एक एकल उच्च स्कोर निम्न से उच्च श्रेणी को बढ़ा सकता है। यही कारण है कि रेंज परिवर्तनशीलता का एक विश्वसनीय उपाय नहीं है।
4. नमूने में उतार-चढ़ाव से यह बहुत प्रभावित होता है। इसका मूल्य कभी स्थिर नहीं होता है। एक वर्ग में जहां आम तौर पर छात्रों की ऊंचाई 150 सेमी से 180 सेमी तक होती है, अगर एक बौना, जिसकी ऊंचाई 90 सेमी है, तो सीमा 90 सेमी से 180 सेमी तक बढ़ जाएगी।
5. रेंज श्रृंखला और फैलाव को सही मायने में प्रस्तुत नहीं करता है। विषम और सममित वितरण में समान सीमा हो सकती है लेकिन समान फैलाव नहीं। यह सीमित सटीकता का है और सावधानी के साथ इस्तेमाल किया जाना चाहिए।
हालांकि, हमें इस तथ्य को नजरअंदाज नहीं करना चाहिए कि सीमा फैलाव का एक कच्चा उपाय है और सटीक और सटीक अध्ययन के लिए पूरी तरह से अनुपयुक्त है।
उपाय # 2. चतुर्थक विचलन:
रेंज माप के पैमाने पर अंतराल या दूरी है जिसमें 100 प्रतिशत मामले शामिल हैं। सीमा की सीमाएं केवल दो चरम मूल्यों पर इसकी निर्भरता के कारण हैं।
फैलाव के कुछ उपाय हैं जो इन दो चरम मूल्यों से स्वतंत्र हैं। इनमें से अधिकांश सामान्य चतुर्थांश विचलन है जो किसी दिए गए वितरण में मध्य 50 प्रतिशत मामलों वाले अंतराल पर आधारित है।
चतुर्थक विचलन तीसरी चतुर्थक और पहली चतुर्थक के बीच की दूरी का आधा है। यह एक वितरण की अर्ध-अंतःक्रियात्मक श्रेणी है:
चतुर्थक विचलन को लेने से पहले, हमें क्वार्टर और चतुर्थक का अर्थ पता होना चाहिए।
उदाहरण के लिए एक परीक्षण के परिणाम 20 अंक और इन अंकों को एक अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। आइए हम अंकों के वितरण को चार समान भागों में विभाजित करें। प्रत्येक भाग एक 'तिमाही' प्रस्तुत करेगा। प्रत्येक तिमाही में 25% (या एन के 1 / 4th) मामले होंगे।
अवरोही क्रम में स्कोर की व्यवस्था की जाती है,
प्रथम तिमाही में शीर्ष 5 स्कोर होंगे,
अगले 5 अंक 2 तिमाही में होंगे,
अगले 5 अंक 3 तिमाही में होंगे, और
और सबसे कम 5 अंक 4 तिमाही में होंगे।
किसी श्रृंखला की रचना का बेहतर अध्ययन करने की दृष्टि से इसे तीन, चार, छह, सात, आठ, नौ, दस या सौ भागों में विभाजित करना आवश्यक हो सकता है।
आमतौर पर, एक श्रृंखला को चार, दस या सौ भागों में विभाजित किया जाता है। एक आइटम श्रृंखला को दो भागों में विभाजित करता है, चार भागों (चतुर्थांश) में तीन आइटम, दस भागों (डिकाइल्स) में नौ आइटम और सौ भागों (प्रतिशत) में निन्यानबे आइटम।
इस प्रकार, एक श्रृंखला में तीन चतुर्थक, नौ डिकिले और निन्यानबे प्रतिशत हैं। दूसरा चतुर्थक, या 5 वाँ दशांश या 50 वाँ प्रतिशत माध्यिका (चित्र देखें) है।
उस वस्तु का मूल्य जो किसी श्रृंखला के पहले आधे भाग (माध्यिका के मान से कम मान वाले) को दो बराबर भागों में विभाजित करता है, प्रथम चतुर्थांश (Q 1 ) या निम्न चतुर्थक कहलाता है। दूसरे शब्दों में, क्यू 1 नीचे एक बिंदु है, जिसमें 25% मामले झूठ बोलते हैं। क्यू 1 25 वाँ प्रतिशतक है।
द्वितीय चतुर्थक (Mdn) या मध्य चतुर्थक मध्यमा है। दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसा बिंदु है जिसके नीचे 50% अंक झूठ होते हैं। एक मंझला 50 वां प्रतिशत है।
आइटम का मूल्य जो श्रृंखला के उत्तरार्द्ध को विभाजित करता है (मध्यमान के मूल्य से अधिक मूल्यों के साथ) को दो समान भागों में तीसरे चतुर्थक (क्यू 3 ) या ऊपरी चतुर्थक कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, क्यू 3 नीचे एक बिंदु है, जिसमें 75% स्कोर झूठ बोलते हैं। क्यू 3 75 वाँ प्रतिशतक है।
ध्यान दें:
एक छात्र को स्पष्ट रूप से एक चौथाई और एक चतुर्थक के बीच अंतर करना चाहिए। क्वार्टर एक सीमा है; लेकिन चतुर्थांश पैमाने पर एक बिंदु है। क्वार्टर ऊपर से नीचे (या उच्चतम स्कोर से सबसे कम स्कोर) तक गिने जाते हैं, लेकिन क्वार्टराइल नीचे से ऊपर तक गिने जाते हैं।
चतुर्थक विचलन (Q) तृतीय चतुर्थांश (Q 3 ) और प्रथम चतुर्थक (Q 1 ) के बीच की दूरी का आधा है:
L = क्यू की निचली सीमा जहां Q 3 निहित है,
3 एन / 4 = 3/4 नोर 75% एन।
F = 'L' के नीचे सभी आवृत्तियों का कुल,
fq = ci की आवृत्ति जिस पर Q 3 निहित है और i = ci का आकार या लंबाई
एल = क्यू की निचली सीमा जहां क्यू 1 झूठ है,
एन / 4 = एन का एक चौथाई (या 25%),
F = 'L' के नीचे सभी आवृत्तियों का कुल,
fq = ci की आवृत्ति जिस पर Q 1 निहित है,
और i = साइ का आकार या लंबाई
अन्तःचतुर्थक श्रेणी:
तीसरी चतुर्थक और पहली चतुर्थक के बीच की सीमा को अंतर-चतुर्थक श्रेणी के रूप में जाना जाता है। प्रतीकात्मक रूप से अंतर-चतुर्थक श्रेणी = क्यू 3 - क्यू १ ।
अर्ध-अंतःक्रियात्मक सीमा:
यह तीसरी चतुर्थक और पहली चतुर्थक के बीच की आधी दूरी है।
इस प्रकार, एसआई आर। = क्यू 3 - क्यू 1/4
क्यू या चतुर्थक विचलन को अर्ध-अंतःक्रियात्मक श्रेणी (या SIR) के रूप में जाना जाता है
इस प्रकार, क्यू = क्यू ३ - क्यू १ / २
यदि हम माध्यिका के सूत्र के साथ Q 3 और Q 1 के सूत्र की तुलना करेंगे तो निम्नलिखित अवलोकन स्पष्ट हो जाएंगे:
मैं। मेडियन के मामले में हम N / 2 का उपयोग करते हैं जबकि Q 1 के लिए हम N / 4 का उपयोग करते हैं और Q 3 के लिए हम 3N / 4 का उपयोग करते हैं।
ii। माध्य के मामले में हम fi का उपयोग ci की आवृत्ति को दर्शाने के लिए करते हैं, जिस पर माध्य निहित है; लेकिन Q 1 और Q 3 के मामले में, हम cq की आवृत्ति को दर्शाने के लिए fq का उपयोग करते हैं, जिस पर Q 1 या Q 3 निहित है।
क्यू की गणना (अनग्रुप्ड डेटा):
क्यू की गणना करने के लिए हमें पहले क्यू 3 और क्यू 1 की गणना करना आवश्यक है। क्यू 1 और क्यू 3 की गणना उसी तरीके से की जाती है जैसे हम माध्यिका की गणना कर रहे थे।
केवल अंतर हैं:
(i) माध्यिका के मामले में हम नीचे से 50% मामलों (N / 2) की गिनती कर रहे थे, लेकिन
(ii) क्यू 1 के मामले में हमें नीचे से 25% मामलों (या एन / 4) की गणना करनी है और
(iii) क्यू 3 के मामले में हमें नीचे से cases५% मामलों (या ३ एन / ४) की गणना करनी है।
उदाहरण 5:
निम्नलिखित स्कोर का Q ज्ञात कीजिये 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39।
20 अंक हैं।
25% एन = 20/4 = 5
क्यू 1 नीचे एक बिंदु है, जिसमें 25% मामले झूठ बोलते हैं। इस उदाहरण में, Q 1 एक बिंदु है जिसके नीचे 5 मामले हैं। आदेशित डेटा के मात्र निरीक्षण से यह पता चलता है कि 24.5 से नीचे 5 मामले हैं। इस प्रकार Q 1 = 24.5
इसी तरह क्यू 3 नीचे एक बिंदु है जिसमें 75% ईजी झूठ बोलते हैं।
75% एन = 3/4 x 20 = 15
हम पाते हैं कि 34.5, 15 मामले नीचे हैं
इस प्रकार Q 3 = 34.5।
एक सममित वितरण में, माध्य Q 1 और Q 3 से बड़े पैमाने पर आधा है। इसलिए, मूल्य Q 1 + Q या Q 3 - Q मान का मान देता है। लेकिन, आम तौर पर, वितरण सममित नहीं होते हैं और इसलिए क्यू 1 + क्यू या क्यू 3 - क्यू मंझला का मूल्य नहीं देगा।
क्यू की गणना (समूहीकृत डेटा):
उदाहरण 6:
एक परीक्षण में 36 छात्रों द्वारा प्राप्त किए गए अंक तालिका में दिखाए गए हैं। स्कोर के चतुर्थक विचलन का पता लगाएं।
कॉलम 1 में, हमने कक्षा अंतराल लिया है, कॉलम 2 में, हमने आवृत्ति ली है, और कॉलम 3 में, नीचे से शुरू होने वाले संचयी आवृत्तियों को लिखा गया है।
यहाँ N = 36, इसलिए Q 1 के लिए हमें N / 4 = 36/4 = 9 मामले लेने हैं और Q 3 के लिए हमें 3N / 4 = 3 x 36/4 = 27 मामले लेने हैं। कॉलम 3 में देखने से, cf = 9 को ci 55 - 59 में शामिल किया जाएगा, जिसकी वास्तविक सीमा 54.5 - 59.5 है। Q1 54.5 - 59.5 के अंतराल में झूठ होगा।
क्यू 1 का मूल्य निम्नानुसार गणना की जानी है:
क्यू 3 की गणना के लिए, cf = 27 को ci 65 - 69 में शामिल किया जाएगा, जिसकी वास्तविक सीमा 64. 5 - 69.5 है। तो क्यू 3 अंतराल 64.5 - 69.5 में झूठ होगा और इसका मूल्य इस प्रकार है:
चतुर्थक विचलन की व्याख्या:
चतुर्थक विचलन के मूल्य की व्याख्या करते समय, यह बेहतर है कि मेडियन, क्यू 1 और क्यू 3 के मूल्यों के साथ-साथ क्यू। यदि क्यू का मूल्य अधिक है, तो फैलाव अधिक होगा, लेकिन फिर से मूल्य पैमाने पर निर्भर करता है माप का। क्यू के दो मूल्यों की तुलना केवल तभी की जाती है जब उपयोग किया गया पैमाना समान हो। 50 में से स्कोर के लिए Q को 50 से बाहर के स्कोर के साथ सीधे तुलना नहीं की जा सकती।
यदि माध्यिका और क्यू ज्ञात हैं, तो हम कह सकते हैं कि 50% मामले 'मेडियन - क्यू' और 'मेडियन + क्यू' के बीच स्थित हैं। ये 50% मामलों के मध्य हैं। यहां, हमें केवल 50% मामलों की मध्य सीमा के बारे में पता चलता है। निचले 25% मामलों और ऊपरी 25% मामलों को कैसे वितरित किया जाता है, इस उपाय के माध्यम से नहीं जाना जाता है।
कभी-कभी, चरम मामलों या मूल्यों को ज्ञात नहीं किया जाता है, जिस स्थिति में हमारे पास एकमात्र विकल्प मध्य और प्रवृत्ति के फैलाव के माप के रूप में माध्य और चतुर्थक विचलन की गणना करना है। माध्यिका और चतुर्थक के माध्यम से हम वितरण की समरूपता या तिरछापन के बारे में अनुमान लगा सकते हैं। इसलिए, हम सममित और तिरछा वितरण का कुछ विचार प्राप्त करें।
सममित और तिरछा वितरण:
एक वितरण को सममित कहा जाता है जब केंद्रीय प्रवृत्ति के माप के आसपास आवृत्तियों को सममित रूप से वितरित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि वितरण सममित है यदि केंद्रीय प्रवृत्ति के माप के दो किनारों पर समान दूरी पर समान आवृत्तियों के बराबर मूल्य हैं।
उदाहरण 7:
यह जानें कि दिया गया वितरण सममित है या नहीं।
यहाँ केंद्रीय प्रवृत्ति का माप, साथ ही माध्यिका है, 5. यदि हम 5 के दो पक्षों पर मूल्यों की आवृत्तियों की तुलना करना शुरू करते हैं, तो हम पाते हैं कि मान 4 और 6, 3 और 7, 2 और 8, 1 हैं। और 9, 0 और 10 की आवृत्तियों की संख्या समान है। तो वितरण पूरी तरह से सममित है।
एक सममित वितरण में, माध्य और माध्य समान हैं और माध्य दो चतुर्थक अर्थात Q 3 - माध्यियन = माध्यिका - Q १ से समान दूरी पर स्थित है।
यदि कोई वितरण सममित नहीं है, तो समरूपता से प्रस्थान इसकी तिरछीता को दर्शाता है। तिरछापन इंगित करता है कि वक्र एक तरफ से दूसरी तरफ अधिक मुड़ता है। तो वक्र एक तरफ एक लंबी पूंछ होगी।
तिरछा होना सकारात्मक कहा जाता है यदि लंबी पूंछ दाईं ओर है और यह नकारात्मक के लिए कहा जाता है यदि लंबी पूंछ बाईं तरफ है।
निम्नलिखित आंकड़े सकारात्मक रूप से तिरछे और नकारात्मक रूप से तिरछे वक्र की उपस्थिति दर्शाते हैं:
क्यू 3 - एमडीएन> एमडीएन - क्यू 1 इंगित करता है + वी तिरछा
क्यू 3 - एमडीएन <एमडीएन - क्यू 1 इंगित करता है - वी तिरछा
क्यू 3 - एमडीएन = एमडीएन - क्यू 1 शून्य तिरछाता को इंगित करता है
प्रश्न के गुण:
1. यह समग्र रेंज की तुलना में परिवर्तनशीलता का अधिक प्रतिनिधि और भरोसेमंद उपाय है।
2. यह वितरण के मध्य में स्कोर घनत्व का एक अच्छा सूचकांक है।
3. चतुर्थक किसी वितरण की विषमता को दर्शाने में उपयोगी होते हैं।
4. माध्यिका की तरह, क्यू ओपन-एंड वितरण के लिए लागू होता है।
5. जहां केंद्रीय प्रवृत्ति के माप के रूप में माध्यिका को पसंद किया जाता है, वहीं चतुर्थक विचलन को फैलाव के माप के रूप में पसंद किया जाता है।
क्यू की सीमाएं:
1. हालांकि, माध्यिका की तरह, चतुर्थक विचलन बीजीय उपचार के लिए उत्तरदायी नहीं है, क्योंकि यह वितरण के सभी मूल्यों को ध्यान में नहीं रखता है।
2. यह केवल तीसरे और पहले चतुर्थक की गणना करता है और हमें सीमा के बारे में बताता है। Q 'से हम इस बारे में सच्ची तस्वीर नहीं पा सकते हैं कि स्कोर को केंद्रीय मान से कैसे फैलाया जाए। यह 'क्यू' हमें स्कोर की संरचना के बारे में कोई विचार नहीं देता है। दो श्रृंखलाओं का 'क्यू' बराबर हो सकता है, फिर भी श्रृंखला रचना में काफी भिन्न हो सकती है।
3. यह मोटे तौर पर फैलाव का विचार देता है।
4. यह तीसरे चतुर्थक से ऊपर के स्कोर और पहली चतुर्थक से नीचे के अंकों की अनदेखी करता है। यह बस वितरण के मध्य 50% के बारे में हमें बोलता है।
क्यू के उपयोग:
1. जब माध्य एक केंद्रीय प्रवृत्ति का माप होता है;
2. जब वितरण किसी भी छोर पर अधूरा हो;
3. जब बिखरे हुए या चरम स्कोर होते हैं जो एसडी को प्रतिकूल रूप से प्रभावित करेगा;
4. जब माध्यिका के चारों ओर संकेंद्रण - मध्य 50% मामलों में प्राथमिक रुचि होती है।
चतुर्थक विचलन का गुणांक:
चतुर्थक विचलन फैलाव का एक पूर्ण उपाय है और इसे सापेक्ष बनाने के लिए, हम 'चतुर्थक विचलन के गुणांक' की गणना करते हैं। गुणांक की गणना चतुर्थक के औसत से चतुर्थक विचलन को विभाजित करके की जाती है।
यह इसके द्वारा दिया गया है:
चतुर्थक विचलन का गुणांक = Q 3 - Q 1 / Q 3 + Q 1
जहां क्यू 3 और क्यू 1 क्रमशः ऊपरी और निचले चतुर्थक को संदर्भित करते हैं।
उपाय # 3. औसत विचलन (AD) या मीन विचलन (MD):
जैसा कि हमने पहले ही सीमा पर चर्चा की है और 'क्यू' मोटे तौर पर हमें परिवर्तनशीलता का कुछ विचार देता है। दो श्रृंखलाओं की सीमा एक समान हो सकती है या दो श्रृंखलाओं का चतुर्थक विचलन समान हो सकता है, फिर भी दो श्रृंखलाएं भिन्न हो सकती हैं। न तो श्रेणी और न ही 'क्यू' श्रृंखला की रचना की बात करता है। ये दो उपाय व्यक्तिगत स्कोर को ध्यान में नहीं रखते हैं।
औसत विचलन या 'औसत विचलन' की विधि, जैसा कि कभी-कभी कहा जाता है, दोनों तरीकों (रेंज और 'क्यू') की एक गंभीर कमी को दूर करने के लिए जाता है। औसत विचलन को फैलाव का पहला क्षण भी कहा जाता है और एक श्रृंखला में सभी वस्तुओं पर आधारित होता है।
औसत विचलन केंद्रीय प्रवृत्ति (मतलब, माध्य या विधा) के कुछ मापों से गणना की गई श्रृंखला के विचलन का अंकगणितीय माध्य है, सभी विचलन सकारात्मक माने जा रहे हैं। दूसरे शब्दों में अंकगणित माध्य से सभी मानों के विचलन का औसत औसत विचलन या औसत विचलन के रूप में जाना जाता है। (आमतौर पर, विचलन वितरण के माध्यम से लिया जाता है।)
जहां Where कुल योग है;
एक्स स्कोर है; एम का मतलब है; N कुल अंकों की संख्या है।
और 'डी' का अर्थ है, माध्य से व्यक्तिगत स्कोर का विचलन।
मीन विचलन की गणना (अनग्रुप्ड डेटा):
उदाहरण 8:
निम्नलिखित सेट के लिए माध्य विचलन खोजें:
एक्स = 55, 45, 39, 41, 40, 48, 42, 53, 41, 56
उपाय:
मतलब विचलन खोजने के लिए हम पहले दिए गए अवलोकनों के लिए माध्य की गणना करते हैं।
विचलन और पूर्ण विचलन तालिका 4.2 में दिए गए हैं:
उदाहरण 9:
नीचे दिए गए अंकों के लिए औसत विचलन खोजें:
25, 36, 18, 29, 30, 41, 49, 26, 16, 27
उपरोक्त अंकों का माध्य 29.7 पाया गया।
माध्य विचलन की गणना के लिए:
ध्यान दें:
यदि आप कुछ बीजगणित लागू करते हैं, तो आप देख सकते हैं कि X (X - M) शून्य है
मीन विचलन की गणना (समूहीकृत डेटा):
उदाहरण 10:
निम्न आवृत्ति वितरण के लिए माध्य विचलन ज्ञात करें:
यहां, कॉलम 1 में, हम ci को कॉलम 2 में लिखते हैं, हम इसी आवृत्तियों को लिखते हैं, कॉलम 3 में, हम ci के मध्य बिंदुओं को लिखते हैं, जिसे कॉलम 4 में 'X' द्वारा दर्शाया जाता है, हम स्तंभ 5 में एक्स द्वारा निरूपित आवृत्तियों और मध्य-बिंदुओं के गुणनफल को लिखते हैं, हम ci के मध्य-बिंदुओं के निरपेक्ष विचलन को उस अर्थ से लिखते हैं, जिसे d | और कॉलम 6 में, हम निरपेक्ष विचलन और आवृत्तियों के उत्पाद लिखते हैं, जिसे fd | fd |
मीन विचलन के गुण:
1. औसत विचलन फैलाव का सबसे सरल उपाय है जो किसी दिए गए वितरण में सभी मूल्यों को ध्यान में रखता है।
2. यह आसानी से समझ में आने वाला व्यक्ति भी है, जो आंकड़ों में पारंगत नहीं है।
3. यह चरम वस्तुओं के मूल्य से बहुत अधिक प्रभावित नहीं है।
4. यह माध्य से व्यक्तिगत अंकों के विचलन का औसत है।
सीमाएं:
1. माध्य विचलन विचलन के बीजीय संकेतों को अनदेखा करता है और जैसे कि यह आगे के गणितीय उपचार में सक्षम नहीं है। तो, यह केवल परिवर्तनशीलता के वर्णनात्मक माप के रूप में उपयोग किया जाता है।
2. वास्तव में, एमडी आम उपयोग में नहीं है। यह शायद ही कभी आधुनिक आंकड़ों में उपयोग किया जाता है और आम तौर पर फैलाव का अध्ययन मानक विचलन द्वारा किया जाता है।
एमडी के उपयोग:
1. जब उनके आकार के अनुसार सभी विचलन को तौलना होता है।
2. जब यह जानना आवश्यक हो जाए कि उपाय किस हद तक दोनों तरफ फैला हुआ है।
3. जब अत्यधिक विचलन मानक विचलन को प्रभावित करते हैं।
मीन विचलन की व्याख्या:
माध्य विचलन की व्याख्या करने के लिए, माध्य और मामलों की संख्या के साथ इसे देखना हमेशा बेहतर होता है। माध्य की आवश्यकता होती है क्योंकि माध्य और माध्य विचलन क्रमशः माप के समान पैमाने पर बिंदु और दूरी हैं।
मतलब के बिना, मतलब विचलन की व्याख्या नहीं की जा सकती है, क्योंकि माप के पैमाने या माप की इकाई के लिए कोई सुराग नहीं है। मामलों की संख्या महत्वपूर्ण है क्योंकि फैलाव का माप इस पर निर्भर करता है। मामलों की कम संख्या के लिए, उपाय अधिक होने की संभावना है।
दो उदाहरणों में, हमारे पास है:
पहले मामले में, औसत विचलन औसतन लगभग 25% है, जबकि दूसरे मामले में यह कम है। लेकिन मामलों की कम संख्या के कारण औसत विचलन पहले मामले में अधिक हो सकता है। तो ऊपर दो गणना विचलन लगभग समान फैलाव को इंगित करते हैं।
उपाय # 4. मानक विचलन या एसडी और भिन्नता:
फैलाव के कई उपायों में से, सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला उपाय 'मानक विचलन' है। यह बीजीय उपचार के लिए उत्तरदायी फैलाव का एकमात्र उपाय होने के कारण सबसे महत्वपूर्ण भी है।
यहाँ भी, वितरण के माध्य से सभी मानों के विचलन पर विचार किया जाता है। यह उपाय कम से कम कमियों से ग्रस्त है और सटीक परिणाम प्रदान करता है।
यह औसत से वस्तुओं के विचलन की गणना करते समय बीजीय संकेतों को अनदेखा करने की खामी को दूर करता है। संकेतों की उपेक्षा करने के बजाय, हम विचलन को चौकोर करते हैं, जिससे उनमें से सभी सकारात्मक हो जाते हैं।
यह कई अर्थों में AD से भिन्न है:
मैं। AD या MD की गणना करने में, हम संकेतों की अवहेलना करते हैं, जबकि SD को खोजने में हम अलग-अलग विचलन को चिह्नित करके संकेतों की कठिनाई से बचते हैं;
ii। कंप्यूटिंग एसडी में उपयोग किए जाने वाले वर्ग विचलन हमेशा माध्य से लिया जाता है, कभी माध्य या मोड से नहीं।
"मानक विचलन या SD वितरण के माध्य से व्यक्तिगत अंकों के वर्ग विचलन के माध्य का वर्गमूल है।"
अधिक स्पष्ट होने के लिए, हमें यहां ध्यान देना चाहिए कि एसडी की गणना करने में, हम सभी विचलन को अलग-अलग वर्ग करते हैं। उनकी राशि ज्ञात करें, योग को कुल अंकों की संख्या से विभाजित करें और फिर वर्ग विचलन के माध्य का वर्गमूल ज्ञात करें।
इसलिए एसडी को 'माध्य से वर्ग माध्य विचलन' भी कहा जाता है और इसे आमतौर पर छोटे ग्रीक अक्षर ma (सिगनल) द्वारा निरूपित किया जाता है।
प्रतीकात्मक रूप से, अनियंत्रित डेटा के लिए मानक विचलन निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
जहां मतलब से व्यक्तिगत स्कोर का डी = विचलन;
(कुछ लेखक 'x' का प्रयोग माध्य से व्यक्तिगत स्कोर के विचलन के रूप में करते हैं)
Of = कुल योग; एन = मामलों की कुल संख्या।
माध्य वर्ग विचलन को प्रसरण कहा जाता है। या सरल शब्दों में विचलन के मानक के वर्ग को फैलाव या भिन्न का दूसरा क्षण कहा जाता है।
एसडी (संगणित डेटा) की संगणना:
अभिकलन डेटा के लिए SD की गणना करने के दो तरीके हैं:
(ए) प्रत्यक्ष विधि।
(b) शॉर्ट-कट विधि।
(ए) प्रत्यक्ष विधि:
नीचे दिए गए अंकों के लिए मानक विचलन खोजें:
X = 12, 15, 10, 8, 11, 13, 18, 10, 14, 9
यह विधि एसडी खोजने के लिए सूत्र (18) का उपयोग करती है जिसमें निम्नलिखित चरण शामिल हैं:
चरण 1:
दिए गए डेटा के अंकगणितीय माध्य की गणना करें:
चरण 2:
कॉलम 2 में प्रत्येक स्कोर के विरूद्ध विचलन अर्थात X - M का मान लिखें। यहाँ स्कोर का विचलन 12. से लिया जाना है। अब आप पाएंगे कि ord या ∑ (X - M) शून्य के बराबर है। सोचो, ऐसा क्यों है? इसे जाँचे। यदि ऐसा नहीं है, तो गणना में त्रुटि का पता लगाएं और इसे ठीक करें।
चरण 3:
विचलन को स्क्वायर करें और कॉलम 3 में प्रत्येक स्कोर के विरुद्ध d 2 का मान लिखें। चुकता विचलन का योग ज्ञात करें। ∑द 2 = 84।
तालिका 4.5 एसडी की संगणना:
आवश्यक मानक विचलन 2.9 है।
चरण 4:
चुकता विचलन के माध्य की गणना करें और फिर मानक विचलन अर्थात value का मान प्राप्त करने के लिए धनात्मक वर्गमूल ज्ञात करें।
सूत्र (19) का उपयोग करते हुए, वेरिएंस σ 2 = /d 2 / N = 84/10 = 8.4 होगा
(बी) शॉर्ट-कट विधि:
अधिकांश मामलों में दिए गए डेटा के अंकगणितीय माध्य एक भिन्नात्मक मूल्य होता है और फिर विचलन लेने और उन्हें चुकता करने की प्रक्रिया एसडी की गणना में थकाऊ और चूने की खपत बन जाती है।
ऐसी स्थितियों में संगणना को सुविधाजनक बनाने के लिए, विचलन एक ग्रहण किए गए साधन से लिया जा सकता है। एसडी की गणना के लिए समायोजित शॉर्ट-कट फॉर्मूला तब होगा,
कहा पे,
d = मान लिया गया स्कोर से स्कोर का विचलन, एएम कहते हैं; यानी डी = (एक्स - एएम)।
d 2 = विचलन का वर्ग।
∑d = विचलन का योग।
∑d 2 = वर्ग विचलन का योग।
N = अंकों या संस्करणों का।
गणना प्रक्रिया निम्नलिखित उदाहरण में स्पष्ट की गई है:
उदाहरण 11:
X = 12, 15, 10, 8, 11, 13, 18, 10, 14, 9 के तालिका 4.5 में दिए गए अंकों के लिए एसडी का पता लगाएं। शॉर्ट-कट विधि का उपयोग करें।
उपाय:
आइए हम मान लेते हैं कि एएम = 11।
सूत्र में आवश्यक विचलन के विचलन और वर्ग निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं:
सूत्र में तालिका से मान रखते हुए, एस.डी.
शॉर्ट-कट विधि उसी परिणाम देती है जैसा हमने पिछले उदाहरण में प्रत्यक्ष विधि का उपयोग करके प्राप्त किया था। लेकिन शॉर्ट-कट विधि उन स्थितियों में गणना कार्य को कम करती है जहां अंकगणित का मतलब पूरी संख्या नहीं है।
एसडी की गणना (समूहीकृत डेटा):
(ए) लंबी विधि / प्रत्यक्ष विधि:
उदाहरण 12:
निम्नलिखित वितरण के लिए एसडी का पता लगाएं:
यहाँ भी, पहला कदम माध्य का पता लगाना है, जिसके लिए हमें c.i के निरूपित X 'के मध्य बिंदुओं को लेना होगा और उत्पाद f X को खोजना होगा।' माध्य is f x '/ N द्वारा दिया गया है। दूसरा चरण वर्ग अंतरालों के मध्य-बिंदुओं के विचलन को 'X' से ज्ञात करना है, जिसका अर्थ X'- M से माना जाता है।
तीसरा चरण विचलन को वर्गबद्ध करना है और चुकता विचलन और संबंधित आवृत्ति के उत्पाद का पता लगाना है।
उपरोक्त समस्या को हल करने के लिए, ci के कॉलम 1 में लिखे गए हैं, आवृत्तियों को कॉलम 2 में लिखा गया है, c.i के मध्य बिंदुओं को X के कॉलम 3 में लिखा गया है, f X का उत्पाद कॉलम 4 में लिखा गया है, विचलन X का X 'कॉलम 5 में लिखा गया है, वर्ग विचलन d 2 कॉलम 6 में लिखा गया है, और उत्पाद f d 2 कॉलम 7 में लिखा गया है,
जैसा की नीचे दिखाया गया:
तो, मध्यबिंदुओं का विचलन 11.1 से लिया जाना है।
इस प्रकार, आवश्यक मानक विचलन 4.74 है।
(बी) शॉर्ट-कट विधि:
कभी-कभी, प्रत्यक्ष विधि में, यह देखा गया है कि वास्तविक माध्य से विचलन दशमलव में घटता है और डी 2 और एफडी 2 के मूल्यों की गणना करना मुश्किल है। इस समस्या से बचने के लिए हम मानक विचलन की गणना के लिए एक छोटी कट-विधि का पालन करते हैं।
इस विधि में, वास्तविक अर्थ से विचलन लेने के बजाय, हम उचित रूप से चुने हुए अर्थ से विचलन लेते हैं, एएम कहते हैं
एसडी की गणना के लिए निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:
जहां घ का अर्थ ग्रहण से विचलन है।
निम्नलिखित कदम मानक विचलन की गणना में शामिल हैं:
(i) ग्रहण किए गए माध्य से चर के विचलन को d = = (X - AM) मान लेते हैं
(ii) कॉलम fd प्राप्त करने के लिए इन आवृत्तियों को संबंधित आवृत्तियों से गुणा करें। इस कॉलम का योग d fd देता है ।
इसी विचलन के साथ fd (d)
(iii) कॉलम fd 2 प्राप्त करने के लिए गुणा करें। इस कॉलम का योग d fd 2 होगा ।
(iv) एसडी खोजने के लिए सूत्र (22) का उपयोग करें
उदाहरण 13:
शॉर्ट-कट विधि का उपयोग तालिका 4.7 में डेटा का एसडी पाते हैं।
उपाय:
आइए हम मान लेते हैं कि एएम = 10. एसडी की गणना के लिए आवश्यक अन्य गणनाएं तालिका 4.8 में दी गई हैं।
मान तालिका से लाना
सूत्र (19) का उपयोग करते हुए, विचरण
(ग) चरण-विचलन विधि:
इस विधि में, कॉलम 1 में हम ci लिखते हैं; कॉलम 2 में हम आवृत्तियों को लिखते हैं; कॉलम 3 में हम d के मान लिखते हैं, जहाँ d = X'-AM / i; कॉलम 4 में हम fd का उत्पाद लिखते हैं, और कॉलम 5 में, हम fd 2 के मान लिखते हैं, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:
यहाँ, मान लिया जाता है कि ci 9-11 का मध्य बिंदु है यानी 10, इसलिए विचलन d को 10 से लिया गया है और 3 से विभाजित किया गया है, ci की लंबाई चरण-विचलन विधि में SD के लिए सूत्र है
जहाँ मैं = c.i की लंबाई;
च = आवृत्ति;
d = वर्ग अंतराल (i) इकाइयों में अनुमानित माध्य (AM) से ci के मध्य-बिंदुओं का विचलन, जिसे कहा जा सकता है:
मान तालिका से लाना
गणना की प्रक्रियाओं को निम्नलिखित तरीके से भी कहा जा सकता है:
संयुक्त मानक विचलन ( b com b ):
जब स्कोर के दो सेटों को एक एकल में जोड़ा गया है, तो दो घटक वितरणों के कुल वितरण के have की गणना करना संभव है।
सूत्र है:
जहाँ where 1, = वितरण का SD 1
σ 2 = वितरण का एसडी 2
डी 1 = (एम 1 - एम कंघी )
डी 2 = (एम 2 - एम कंघी )
एन 1 = वितरण 1 में मामलों की संख्या।
एन 2 = वितरण 2 में मामलों की संख्या।
एक उदाहरण सूत्र के उपयोग का वर्णन करेगा।
उदाहरण 14:
मान लीजिए कि हमें साधन दिए गए हैं और SD एक उपलब्धि परीक्षण पर दो वर्गों के लिए अलग-अलग आकार में हैं, और संयुक्त समूह के ओ को खोजने के लिए कहा जाता है।
डेटा इस प्रकार हैं:
सबसे पहले, हम पाते हैं कि
सूत्र (24) को किसी भी वितरण के लिए बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन वितरण के मामले में, यह होगा
एसडी के गुण:
1. यदि प्रत्येक चर मान को उसी स्थिर मान से बढ़ाया जाता है, तो वितरण के एसडी का मान अपरिवर्तित रहता है:
हम एक उदाहरण पर विचार करके एसडी पर इस आशय की चर्चा करेंगे। तालिका (४.१०) एक २० अंक के कुल अंक के साथ एक परीक्षा में ५ छात्रों के मूल अंक दिखाती है।
नए अंक (X ') भी उसी तालिका में दिए गए हैं जो हम प्रत्येक मूल स्कोर में लगातार 5 जोड़कर प्राप्त करते हैं। अनियंत्रित डेटा के लिए सूत्र का उपयोग करना, हम मानते हैं कि दोनों स्थितियों में एसडी का स्कोर समान रहता है।
इस प्रकार, दोनों स्थितियों में एसडी का मूल्य समान रहता है।
2. जब प्रत्येक चर से एक निरंतर मूल्य घटाया जाता है, तो नए वितरण के एसडी का मूल्य अपरिवर्तित रहता है:
छात्र यह भी जांच सकते हैं कि जब हम प्रत्येक स्कोर से किसी कंटीन्यू को घटाते हैं, तो कंटीन्यूअस कम हो जाता है, लेकिन एसडी एक ही है। यह इस कारण से है कि ' घ ' अपरिवर्तित रहता है।
3. यदि प्रत्येक देखे गए मान को एक स्थिर मान से गुणा किया जाता है, तो नए अवलोकनों का SD भी उसी स्थिरांक से गुणा किया जाएगा:
आइए हम मूल वितरण के प्रत्येक अंक (तालिका 4.10) को 5 से गुणा करें।
इस प्रकार, नए वितरण के एसडी को एक ही स्थिर (यहां, यह 5 है) से गुणा किया जाएगा।
4. यदि प्रत्येक देखे गए मान को एक स्थिर मान से विभाजित किया जाता है, तो नए अवलोकनों का SD भी उसी स्थिरांक से विभाजित होगा। छात्र एक उदाहरण के साथ जांच कर सकते हैं:
इस प्रकार, निष्कर्ष निकालने के लिए, एसडी उत्पत्ति के परिवर्तन (इसके अलावा, घटाव) से स्वतंत्र है लेकिन पैमाने के परिवर्तन (गुणन, विभाजन) पर निर्भर है।
सापेक्ष फैलाव की माप (भिन्नता का गुणांक):
फैलाव के उपाय हमें इस बारे में एक विचार देते हैं कि स्कोर उनके केंद्रीय मूल्य के आसपास किस हद तक बिखरे हुए हैं। इसलिए, एक ही केंद्रीय मूल्यों वाले दो आवृत्ति वितरणों को सीधे फैलाव के विभिन्न उपायों की मदद से तुलना की जा सकती है।
यदि, उदाहरण के लिए, एक कक्षा में एक परीक्षण पर, लड़कों का मतलब होता है स्कोर M 1 = 60, SD = 1 = 15 के साथ और लड़कियों का मतलब है M 2 = 60 SD = 2 = 10. के साथ। स्पष्ट रूप से, जिन लड़कियों की कम SD, लड़कों की तुलना में अपने औसत स्कोर के आसपास स्कोर करने में अधिक सुसंगत हैं।
हमारे पास ऐसी परिस्थितियां हैं जब दो या अधिक वितरणों में असमान साधन होते हैं या माप की विभिन्न इकाइयों की तुलना उनके बिखरे-नेस या परिवर्तनशीलता के संबंध में की जाती है। इस तरह की तुलना करने के लिए हम सापेक्ष फैलाव के गुणांक या विविधताओं के गुणांक (सीवी) का उपयोग करते हैं।
सूत्र है:
(भिन्नता का गुणांक या सापेक्ष परिवर्तनशीलता का गुणांक)
V वह प्रतिशत देता है जो σ परीक्षण माध्य का है। यह इस प्रकार एक अनुपात है जो माप की इकाइयों से स्वतंत्र है।
V इसकी व्याख्या में कुछ अस्पष्टताओं के कारण इसके उपयोग में प्रतिबंधित है। जब अनुपात तराजू के साथ उपयोग किया जाता है तो यह रक्षात्मक होता है - जिसमें इकाइयाँ बराबर होती हैं और एक सच्चा शून्य या संदर्भ बिंदु होता है।
उदाहरण के लिए, वी का उपयोग बिना किसी हिचकिचाहट के साथ किया जा सकता है - वे जो रैखिक परिमाण, वजन और समय से संबंधित हैं।
V के उपयोग में दो मामले सामने आते हैं:
(१) जब इकाइयाँ भिन्न होती हैं, और
(2) जब M असमान होते हैं, तो पैमाने की इकाइयाँ समान होती हैं।
1. जब इकाइयाँ इसके विपरीत होती हैं:
उदाहरण 15:
10 साल के लड़कों के एक समूह की औसत ऊंचाई 137 सेमी है। 6.2 सेमी की ओ के साथ। लड़कों के एक ही समूह का वजन 30 किलो है। 3.5 किग्रा के साथ। किस विशेषता में, समूह अधिक चर है?
उपाय:
जाहिर है, हम सीधे सेंटीमीटर और किलोग्राम की तुलना नहीं कर सकते हैं, लेकिन हम वी के संदर्भ में दो वितरणों के सापेक्ष परिवर्तनशीलता की तुलना कर सकते हैं।
वर्तमान उदाहरण में, दो समूह न केवल माध्य के संबंध में भिन्न हैं, बल्कि माप की इकाइयों में भी हैं जो कि सेमी है। पहले मामले में और किग्रा। क्षण में। ऐसी स्थिति में समूहों की परिवर्तनशीलता की तुलना करने के लिए भिन्नता के गुणांक का उपयोग किया जा सकता है।
हम, इस प्रकार गणना करते हैं:
इस प्रकार, उपरोक्त गणना से ऐसा प्रतीत होता है कि ये लड़के वजन में लगभग 11 (चर। 11.67 / 4.53 = 2.58) हैं।
2. जब साधन असमान हों, लेकिन पैमाने इकाइयाँ समान हों :
मान लें कि हमारे पास लड़कों के समूह और पुरुषों के समूह के लिए एक परीक्षण पर निम्नलिखित आंकड़े हैं:
फिर, तुलना करें:
(i) परीक्षण पर दो समूहों का प्रदर्शन।
(ii) दो समूहों में अंकों की परिवर्तनशीलता।
उपाय:
(i) चूंकि लड़कों के समूह का औसत स्कोर पुरुषों की तुलना में अधिक है, इसलिए, लड़कों के समूह ने परीक्षण का बेहतर प्रदर्शन दिया है।
(ii) अंकों के बीच परिवर्तनशीलता के संबंध में दो समूहों की तुलना करने के लिए, भिन्नता के गुणांक की गणना लड़कों के V = 26.67 और पुरुषों के V = 38.46 से की जाती है।
इसलिए, पुरुषों के समूह में अंकों की परिवर्तनशीलता अधिक है। कम सीवी वाले लड़कों के समूह में छात्र पुरुषों के समूह की तुलना में अपने औसत स्कोर के आसपास स्कोर करने में अधिक सुसंगत हैं।
एसडी और टिप्पणियों का प्रसार:
एक सममित (सामान्य) वितरण में,
(i) मीन i 1 SD स्कोर का 68.26% कवर करता है।
मतलब Mean 2 SD स्कोर का 95.44% कवर करता है।
मीन scores 3 SD स्कोर का 99.73% कवर करता है।
(ii) बड़े नमूनों में (N = 500), रेंज लगभग 6 गुना एसडी है।
यदि N लगभग 100 है, तो रेंज लगभग 5 गुना SD है।
यदि एन 50 के बारे में है, तो रेंज एसडी से लगभग 4.5 गुना है।
यदि N लगभग 20 है, तो रेंज SD से लगभग 3.7 गुना है
मानक विचलन की व्याख्या:
मानक विचलन स्कोर के वितरण की प्रकृति को दर्शाता है। जब स्कोर अधिक व्यापक रूप से फैलता है तो एसडी अधिक होता है और जब स्कोर कम होता है तो एसडी कम होता है। फैलाव के माप के मूल्य की व्याख्या करने के लिए, हमें यह समझना चाहिए कि अधिक σ the ’का मूल्य जितना अधिक बिखरा हुआ है, उतने ही औसत से स्कोर हैं।
माध्य विचलन के मामले में, मानक विचलन की व्याख्या के लिए विचार के लिए M और N के मूल्य की आवश्यकता होती है।
निम्नलिखित उदाहरणों में, examples, माध्य और N के आवश्यक मान दिए गए हैं:
यहां, उदाहरण 1 की तुलना में उदाहरण 2 में फैलाव अधिक है। इसका मतलब है कि उदाहरण 2 में मान अधिक बिखरे हुए हैं, उदाहरण 1 के मूल्यों की तुलना में।
एसडी के गुण:
1. एसडी को सख्ती से परिभाषित किया गया है और इसका मूल्य हमेशा निश्चित है।
2. यह फैलाव का सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल और महत्वपूर्ण उपाय है। यह आंकड़ों में एक केंद्रीय स्थान रखता है।
3. माध्य विचलन की तरह, यह वितरण के सभी मूल्यों पर आधारित है।
4. यहां, विचलन के संकेतों की अवहेलना नहीं की जाती है, इसके बजाय उन्हें प्रत्येक विचलन को समाप्त करके समाप्त कर दिया जाता है।
5. यह परिवर्तनशीलता का मास्टर उपाय है क्योंकि यह बीजीय उपचार के लिए उत्तरदायी है और इसका उपयोग सहसंबंधी कार्य और आगे के सांख्यिकीय विश्लेषण में किया जाता है।
6. यह नमूने के उतार-चढ़ाव से कम प्रभावित होता है।
7. यह परिवर्तनशीलता का विश्वसनीय और सबसे सटीक उपाय है। एसडी हमेशा उस माध्यम से जाता है जो केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे विश्वसनीय उपाय है।
8. यह माप की एक मानक इकाई प्रदान करता है जो एक परीक्षण से दूसरे में तुलनीय अर्थ रखता है। इसके अलावा, सामान्य वक्र सीधे एसडी से संबंधित है
सीमाएं:
1. यह गणना करना आसान नहीं है और यह आसानी से समझ में नहीं आता है।
2. यह अत्यधिक वस्तुओं को अधिक वजन देता है और उन लोगों के लिए कम होता है जो इस समय के पास हैं। जब एक चरम स्कोर का विचलन चुकता होता है तो यह एक बड़े मूल्य को जन्म देता है।
एसडी का उपयोग:
मानक विचलन का उपयोग किया जाता है:
(i) जब परिवर्तनशीलता का सबसे सटीक, विश्वसनीय और स्थिर माप चाहिए।
(ii) जब माध्य से अत्यधिक विचलन के लिए अधिक भार दिया जाना है।
(iii) जब सहसंबंध और अन्य आंकड़ों के गुणांक बाद में गणना की जाती हैं।
(iv) जब विश्वसनीयता के उपायों की गणना की जाती है।
(v) जब स्कोर को सामान्य वक्र के संदर्भ में ठीक से व्याख्या की जानी है।
(vi) जब मानक अंकों की गणना की जानी है।
(vii) जब हम दो आँकड़ों के बीच अंतर के महत्व का परीक्षण करना चाहते हैं।
(viii) जब भिन्नता, भिन्नता आदि के गुणांक की गणना की जाती है।
