विश्लेषण का विश्लेषण (एनोवा)
यह लेख साधनों के बीच अंतर के महत्व को निर्धारित करने के लिए महत्वपूर्ण और अक्सर सामना करने वाली समस्या के लिए विचरण के विश्लेषण के आवेदन से संबंधित होगा।
विविधता, सामान्य अर्थ में, स्कोर के एक सेट के फैलाव का एक उपाय है। यह बताता है कि स्कोर एक दूसरे से किस हद तक भिन्न हैं। इसे माध्य से लिए गए व्यक्तिगत अंकों के चुकता विचलन के रूप में परिभाषित किया गया है।
जहाँ x = X - M या माध्य से स्कोर का विचलन, अर्थात, SD का भिन्नता = वर्ग
या, विचरण = σ 2 तो σ =
विचरण का एक उपाय हमें समूह की समरूपता के बारे में कुछ विचार देता है। जहां समूह उपलब्धि में सजातीय है, वहां अंकों के सेट का विचलन कम होगा। दूसरी ओर, स्कोर के सेट का विचरण अधिक होगा, यदि समूह उपलब्धि में विषम है।
वैज्ञानिक पूछताछ, सामाजिक और भौतिक विज्ञान में अनुसंधान के परिणामों के विश्लेषण के लिए विचरण का विश्लेषण एक बहुत ही उपयोगी उपकरण है। प्रायोगिक अध्ययनों में शोध के सवालों के जवाब प्राप्त करने या परिकल्पनाओं का परीक्षण करने के लिए, भिन्न भिन्न घटकों में भिन्नता का विश्लेषण किया जाता है और विभिन्न स्रोतों से भिन्नताओं की तुलना की जाती है। अनुसंधान में हम विभिन्न प्रयोगात्मक डिजाइन के साथ आते हैं और हम अशक्त परिकल्पनाएँ बनाते हैं।
हम "विचरण के विश्लेषण" (ANOVA या ANOVAR) की तकनीक को यह अध्ययन करने के लिए नियोजित करते हैं कि विचरण अनुपात (F) महत्वपूर्ण है या नहीं, और इसे आधार मानकर परिकल्पना को स्वीकार या अस्वीकार कर दिया जाता है।
एक उदाहरण के माध्यम से विचरण और एनोवा की अवधारणा को स्पष्ट किया गया है।
उदाहरण 1:
4, 6, 3, 7, 5 के निम्न वितरण के विचरण की गणना करें।
यहाँ अभिव्यक्ति Zx 2 को "औसत से स्कोर के विचलन का योग" कहा जाता है (संक्षेप में एसएस)। जब एसएस को कुल अंकों की संख्या (एन) से विभाजित किया जाता है, तो हमें "मीन वर्ग" या एमएस मिलता है। इस प्रकार विचरण को मीन वर्ग भी कहा जाता है। प्रतीकात्मक,
वी = एमएस, या वी = एसएस / एन
एनोवा की शब्दावली में भिन्नता को अक्सर 'मीन स्क्वायर' (या एमएस) कहा जाता है। विश्लेषण के वेरिएंस (एनोवा) में, मतलब वर्ग या विचरण की गणना एसएस को डीएफ द्वारा विभाजित करके की जाती है। इस प्रकार
सार के घटक:
विचरण के विस्तृत गणनाओं से गुजरने से पहले इसके दो घटकों पर एक नज़र डालना आवश्यक है।
(ए) व्यवस्थित विचरण, और
(b) त्रुटि विचरण।
(ए) व्यवस्थित विविधता:
प्रायोगिक विचरण, एक प्रायोगिक सेट अप में, विचरण का वह भाग है जिसे प्रायोगिक चर के हेरफेर के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, अर्थात स्वतंत्र चर।
उदाहरण के लिए, एक अन्वेषक दो समान समूहों की शैक्षिक उपलब्धि पर प्रेरणा के प्रभाव अर्थात मौखिक पुरस्कार और मान्यता का अध्ययन करना चाहता है। वह दो सजातीय समूहों का चयन करता है और एक समूह को मौखिक इनाम देता है और दूसरे समूह को मान्यता देता है। फिर वह दोनों समूहों को एक परीक्षा देता है और अपने स्कोर प्राप्त करता है।
(यहाँ, 'प्रेरणा' स्वतंत्र चर है और 'प्राप्त अंक' आश्रित चर है)। जब दो समूहों के सभी अंकों के विचरण की गणना की जाती है तो इसे कुल विचरण (V t ) कहा जाता है। कुल विचरण का वह हिस्सा जो 'प्रेरणा के हेरफेर' के लिए जिम्मेदार है, केवल 'सिस्टेमैटिक वेरिएंस' के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है। यह समूहों (या वी बी ) के बीच विचरण है।
(बी) त्रुटि भिन्न:
प्रायोगिक चरों के प्रभाव के अलावा, बाहरी चर के कारण भिन्नता के अन्य स्रोत भी हैं जो आश्रित चर को प्रभावित कर सकते हैं।
इस प्रकार त्रुटि भिन्नता कुल भिन्नता का वह भाग है जिसे एक प्रयोग में भिन्नता के अन्य अनियंत्रित स्रोतों के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है।
विभिन्न स्रोतों से त्रुटि भिन्नता परिणाम:
1. अनियंत्रित चर के परिणामस्वरूप भिन्नता के अनियंत्रित स्रोत।
2. प्रायोगिक इकाइयों में निहित परिवर्तनशीलता।
3. प्रयोग में बेतरतीब उतार-चढ़ाव।
4. की कमी के कारण माप की त्रुटियां
(ए) मानक प्रयोगात्मक तकनीक;
(बी) प्रशासन में एकरूपता;
(c) प्रयोग का भौतिक आचरण;
(d) विषयों की क्षणिक भावनात्मक स्थिति, आदि।
प्रतीकात्मक रूप से त्रुटि विचरण को V e के रूप में व्यक्त किया जाता है। उपरोक्त उदाहरण में हम मुख्य रूप से दो चर के साथ संबंध रखते हैं, अर्थात् स्वतंत्र चर के रूप में प्रेरणा और आश्रित चर के रूप में उपलब्धि स्कोर।
इन दो चर के अलावा, अन्वेषक अन्य चर का सामना करता है जो आश्रित चर को प्रभावित करते हैं। इस तरह के अन्य चर सेक्स, खुफिया स्तर, सामाजिक-आर्थिक स्थिति, उम्र, शिक्षा आदि जैसे हो सकते हैं, जिसका ध्यान अन्वेषक ने नहीं रखा है।
ऐसे चर जो एक प्रयोगात्मक सेट अप में नियंत्रित नहीं होते हैं और आश्रित चर की घटना को प्रभावित करते हैं, उन्हें "एक्स्ट्रसिव चर" या "अप्रासंगिक चर" कहा जाता है।
जब इन चरों को एक प्रयोग में नियंत्रित किया जाता है, तो प्रयोगात्मक त्रुटि को कम किया जा सकता है। यदि इन बाहरी चर को नियंत्रित नहीं किया जाता है, तो यह त्रुटि विचरण का हिस्सा बन जाएगा। "प्रायोगिक डिजाइन का मुख्य कार्य व्यवस्थित विचरण को अधिकतम करना है, विचरण के बाहरी स्रोतों को नियंत्रित करना और त्रुटि विचरण को कम करना है ।" इस प्रकार प्रत्येक अन्वेषक प्रयोगात्मक त्रुटि को कम करना चाहता है।
निम्नलिखित तरीकों से त्रुटि विचलन को कम करने के लिए उपयोग किया जा सकता है:
1. बाहरी चर द्वारा नियंत्रित किया जा सकता है:
ए। randomisation,
ख। निकाल देना,
सी। मेल मिलाना,
घ। अतिरिक्त स्वतंत्र चर या चर पेश करके, और
ई। सांख्यिकीय नियंत्रण द्वारा।
2. माप त्रुटियों को नियंत्रित किया जा सकता है :
ए। मानकीकृत प्रयोगात्मक तकनीकों का उपयोग करना,
ख। विश्वसनीय माप उपकरणों का उपयोग करना,
सी। प्रशासन या प्रयोग के आचरण में एकरूपता लाना
घ। स्पष्ट और अस्पष्ट निर्देश आदि देकर माप की विश्वसनीयता बढ़ाना।
उपरोक्त चर्चा से हमें यह निष्कर्ष निकालने की पुष्टि होती है कि कुल विचलन दो भागों में बनता है, अर्थात
वी टी = वी बी + वी ई
जहाँ V t = कुल विचरण
V b = बीच-समूह विचरण (या व्यवस्थित विचरण)
V e = त्रुटि विचरण।
एनोवा में, एफ-टेस्ट द्वारा त्रुटि विचरण के खिलाफ व्यवस्थित विचरण का अध्ययन किया जाता है।
एफ का सबसे बड़ा मूल्य, अधिक से अधिक संभावना है कि व्यवस्थित विचरण प्रायोगिक त्रुटि (समूह विचरण या विभिन्न प्रकार के भीतर) से अधिक है।
एक संख्यात्मक उदाहरण व्यवस्थित विचरण और त्रुटि विचरण के बीच अंतर कर सकता है।
उदाहरण 2:
एक अन्वेषक दस छात्रों को यादृच्छिक पर दो समूहों (प्रत्येक समूह में पांच) को असाइन करता है और यादृच्छिक पर इन दो समूहों को प्रेरणा के दो उपचारों में हेरफेर करता है।
फिर अन्वेषक एक परीक्षा देता है और नीचे लिखे दस छात्रों के अंकों को नोट करता है:
अब यह देखा गया है कि दो समूहों के साधन अलग-अलग हैं। यही है, हम समूह-विचरण के बीच पाते हैं। बीच-बीच के विचरण (V b ) की गणना निम्नानुसार की जा सकती है। आइए हम 5 और 7 को दो अंकों के रूप में लेते हैं और इन दो अंकों के विचरण की गणना करते हैं।
फिर हम दोनों समूहों के सभी दस अंकों को एक कॉलम में लेकर कुल भिन्नता (V t ) की गणना करेंगे।
वी। टी । स्कोर में भिन्नता के सभी स्रोतों को समाहित करता है। इससे पहले हमने V b (या बीच-समूह विचरण) की गणना 1.00 की होगी।
आइए अब हम प्रत्येक समूह के भिन्न रूप की गणना करके और फिर उन्हें औसत करते हुए एक और परिवर्तन की गणना करते हैं।
चूंकि हमने भिन्नताओं की गणना अलग-अलग की है और फिर औसतन, हम इस भिन्नता को "समूहों के भीतर विचरण" या वी डब्ल्यू कहते हैं ।
हमारे उदाहरण में V w = 3 .8
तो 4.8 (V t ) = 1.00 (V b ) + 3.8 (V w )
या V f = V b + V w [कुल विचरण = समूह विचरण + समूह-विचरण के बीच]।
बुनियादी अवधारणाओं एनोवा के साथ मुठभेड़:
एनोवा को नियोजित करके अशक्त परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए संख्यात्मक समस्याओं को लेने से पहले, हमें इन अवधारणाओं से परिचित होना चाहिए। (ए) वर्गों का योग (एसएस) और (बी) स्वतंत्रता की डिग्री ( डीएफ ) जो हम अक्सर एनोवा में मुठभेड़ करेंगे।
(ए) एसएस की गणना (वर्गों का योग):
एनोवा में हम 'बीच समूह विचरण' (वी बी ) और 'समूह विचरण के भीतर' (वी डब्ल्यू ) की गणना करते हैं। हम निम्नानुसार वी बी और वी डब्ल्यू की गणना करते हैं:
जहां एसएस बी = वर्गों के बीच समूह योग
और एसएस डब्ल्यू = वर्गों के समूह के भीतर राशि।
हम इन दो भिन्नताओं की तुलना F के अनुपात में करते हैं जहाँ F = जहाँ
आइए अब सीखते हैं कि वर्गों की राशि (SS) की गणना दो तरीकों से कैसे की जाती है।
उदाहरण 3:
स्कोर के निम्नलिखित वितरण के वर्गों की राशि की गणना करें।
7, 9, 10, 6, 8
मीन = 40/5 = 8
विधि- II (छोटी विधि):
एसएस की गणना गणना माध्य और विचलन के बिना स्कोर से सीधे की जा सकती है। इसे लघु विधि के रूप में जाना जाता है और सूत्र द्वारा एसएस की गणना की जाती है,
यहाँ हमें माध्य की गणना नहीं करनी है और माध्य से व्यक्तिगत स्कोर के विचलन की गणना करनी है। दूसरी विधि को पसंद किया जाता है जब बड़ी संख्या में स्कोर होते हैं और औसत में दशमलव शामिल होता है।
इस प्रकार एनोवा में फार्मूले का उपयोग करके वर्गों की गणना की जा सकती है।
वर्गों के बीच समूह योगों की गणना (एसएस बी ) और वर्गों के समूह योगों के बीच (एसएस डब्ल्यू )
SS t, SS b और SS w की गणना के लिए निम्नलिखित दो विधियों को नियोजित किया जा सकता है।
उदाहरण 4:
पांच अलग-अलग विषयों के दो समूहों पर दो अलग-अलग उपचारों में हेरफेर किया जाता है।
और प्राप्त अंक इस प्रकार हैं:
"ग्रैंड मीन" (यानी सभी दस अंकों का मतलब) को M के रूप में नामित किया जाए
अब एम = 35 + 25/10 = 60/10 = 6
एसएस टी, एसएस बी और एसएस डब्ल्यू (लंबी विधि) की गणना:
एसएस टी की गणना:
SS t की गणना करने के लिए, हमें उक्त दस में से प्रत्येक के विचलन के योग का पता लगाना होगा जिसका अर्थ है भव्य माध्य (यानी 6)
एसएस बी की गणना:
SS b की गणना करने के लिए, हम मानते हैं कि समूह की प्रत्येक वस्तु उसके समूह माध्य के बराबर है और फिर विभिन्न समूहों के बीच भिन्नता का अध्ययन करें। यहां हम विभिन्न समूहों के साधनों के विचलन के वर्ग के योग की गणना भव्य अर्थ से करेंगे।
समूह- I में प्रत्येक आइटम का मूल्य 7 लिया जाता है और समूह- II के प्रत्येक आइटम का मूल्य 5 लिया जाता है और इन साधनों के वर्गों का योग भव्य माध्य (M = 6) से गणना की जाएगी।
हम गणना के अनुसार सारणी रूप में SS b की गणना कर सकते हैं:
एसएस डब्ल्यू की गणना:
एसएस डब्ल्यू की गणना के लिए हम संबंधित समूहों के माध्यम से एक समूह में विभिन्न अंकों के विचलन के योग का पता लगाएंगे।
SS W की गणना सारणीबद्ध रूप में प्रस्तुत की गई है:
वर्गों या एसएस डब्ल्यू की कुल राशि = 10 + 6 = 16
उपरोक्त गणना में हमने SS t, = 26, SS b, = 10 और SS W = 16 पाया है
इस प्रकार एसएस टी = एसएस बी + एसएस डब्ल्यू
SS t, SS b और SS w (लघु विधि) की गणना:
शॉर्ट मेथड में हम एसएस टी एसएस बी और एसएस डब्ल्यू की गणना निम्न तीन फॉर्मूलों का उपयोग करके आसानी से स्कोर से कर सकते हैं।
इस संक्षिप्त विधि में हमें माध्य और विचलन की गणना करने की आवश्यकता नहीं है। हम स्कोर से सीधे विभिन्न भिन्नताओं की गणना कर सकते हैं। एनोवा, एसएस टी और एसएस बी की गणना आमतौर पर लघु विधि द्वारा की जाती है।
एनोवा पर समस्याओं को उठाते हुए हम इस लघु विधि द्वारा एसएस और एसएस टी की गणना करेंगे।
(बी) फ्रीडम की डिग्री (डीएफ):
प्रत्येक SS एक विचरण बन जाता है जब इसे आवंटित की गई स्वतंत्रता ( df ) की डिग्री से विभाजित किया जाता है। एनोवा में हम स्वतंत्रता ( डीएफ ) की डिग्री के साथ आएंगे। प्रत्येक विचरण के लिए स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या उस पर आधारित वी से कम है जिस पर यह आधारित है।
यदि N = सभी श्रेणियों में अंकों की संख्या और K = श्रेणियों या समूहों की संख्या, हमारे पास सामान्य मामले के लिए है:
कुल एसएस के लिए df = (एन - 1)
समूह SS = (K - 1) के बीच के लिए df
समूहों के लिए df एसएस = (एन - के)
इसके अलावा:
(एन - 1) = (एन - के) + (के - १)
विश्लेषण का विश्लेषण (एक ही रास्ता):
अलग-अलग हमने साधनों के बीच अंतर के महत्व के परीक्षणों के बारे में चर्चा की है। आमतौर पर टी-टेस्ट को नियोजित किया जाता है जब हम यह निर्धारित करना चाहते हैं कि क्या दो नमूने का मतलब अलग-अलग है।
जब हम दो समूहों से जुड़े प्रयोगों से चिंतित होते हैं, तो हम यह परीक्षण कर सकते हैं कि क्या टी-टेस्ट को नियोजित करने से दोनों का अर्थ अलग-अलग है।
लेकिन जब दो से अधिक साधनों की तुलना की जानी है तो टी-टेस्ट पर्याप्त नहीं है। उदाहरण के लिए चार समूहों के चार साधन हैं। यह जांचने के लिए कि क्या इन चार साधनों को एक-दूसरे से काफी भिन्न है, हमें छह टी-परीक्षण करने होंगे।
यदि चार साधन M 1, M 2, M 3, M 4 हैं तो हमें M 1 और M 2 अर्थात (M 1 - M 2 ) के बीच अंतर की तुलना M 1 और M 3 अर्थात (M 1 - M 3 ) के बीच करनी होगी। ), एम 1 और एम 4 के बीच (एम 1 - एम 4 ), एम 2 और एम 3 के बीच (एम 2 - एम 3 ), एम 2 और एम 4 के बीच (एम 2 - एम 4 ), एम 3 के बीच और एम 4 यानी, (एम 3 - एम 4 )। इसी तरह 10 के लिए हमें 45 टी-टेस्ट करने होंगे।
K का अर्थ है कि हमें K (K - 1) / 2 टी-परीक्षण करना होगा और इसमें अधिक संगणना और श्रम शामिल होगा। लेकिन एनोवा के माध्यम से एफ-टेस्ट को नियोजित करके हम एक समय में तीन या तीन से अधिक साधनों के अंतर के महत्व का मूल्यांकन कर सकते हैं।
जिन पर एक एफ टेस्ट विश्राम:
हमेशा की तरह, एक सांख्यिकीय निर्णय इस हद तक ध्वनि है कि उपयोग किए गए डेटा में कुछ मान्यताओं को संतुष्ट किया गया है।
एनोवा में आमतौर पर चार उल्लिखित आवश्यकताएं होती हैं:
1. सेट के भीतर नमूना यादृच्छिक होना चाहिए। विभिन्न उपचार समूहों को आबादी से यादृच्छिक पर चुना जाता है।
2. विभिन्न सेटों के भीतर के संस्करण लगभग बराबर होने चाहिए। यह भिन्नता की समरूपता की धारणा को दर्शाता है अर्थात समूह परिवर्तनशीलता में समरूप हैं।
3. प्रयोगात्मक रूप से सजातीय सेटों के भीतर अवलोकन सामान्य रूप से वितरित जनसंख्या से होना चाहिए।
4. कुल विचरण में योगदान योज्य होना चाहिए।
A. हम कुछ उदाहरण लेंगे और देखेंगे कि समूहों के स्वतंत्र होने पर कैसे विचरण का विश्लेषण किया जाता है:
उदाहरण 5:
प्रायोगिक सेट में 16 विषयों को 8 विषयों के दो समूहों में यादृच्छिक पर सौंपा गया है। इन दो समूहों को निर्देश के दो अलग-अलग तरीकों से व्यवहार किया गया था। नमूना साधन के बीच अंतर के महत्व का परीक्षण करें।
उपाय:
ग्रैंड टोटल (अर्थात कुल 16 स्कोर) = 104 या 104X = 104
ग्रांड मीन (M) अर्थात सभी 16 अंकों का मतलब = NX / N = 104/16 = 6.5
एफ अनुपात की गणना के लिए हमें नीचे बताए गए चरणों का पालन करना होगा:
चरण 1:
सभी 16 अंकों का योग 44 + 60 या 104 है; और (सी) सुधार है, तदनुसार,
चरण 2:
जब दोनों समूहों के प्रत्येक अंक को चुकता किया जाता है और toX 2 का सारांश दिया जाता है (1X 1 2 + 260X 2 2 = 260 + 460) 720।
फिर सूत्र का उपयोग करके सुधार 676 को कुल से घटाया जाता है:
कुल एसएस या एसएस 1 = 2X 2 - सी = 720 - 676 = 44।
या, एसएस t = 3 2 + 4 2 + 5 2 + …… .. + 9 2 - 676 = 44
चरण 3:
एसएस बी के बीच के वर्गों का योग प्रत्येक स्तंभ का योग चुकता करके पाया जाता है, पहले और दूसरे को 8 से अलग करके और सी को घटाकर।
समूह के बीच एसएस या एसएस बी
चरण 4:
SS के भीतर (या SS W ) SS t और SS b के बीच का अंतर है। इस प्रकार एसएस डब्ल्यू = 44 - 16 = 28।
चरण 5:
चूंकि सभी में 16 स्कोर हैं
एफ अनुपात की व्याख्या:
विचरण अनुपात या एफ 16/2 या 8 है। बीच के लिए डीएफ 1 है और समूहों के लिए डीएफ 14. 14. इन डीएफ के साथ तालिका एफ में प्रवेश करना हम कॉलम 1 और पंक्ति 14 में पढ़ते हैं कि .05 का स्तर 4.60 है .01 स्तर 8.86 है। हमारी गणना एफ .05 के स्तर पर महत्वपूर्ण है।
लेकिन यह .01 स्तर पर महत्वपूर्ण नहीं है। या दूसरे शब्दों में F का मनाया गया मान .05 स्तर मान से अधिक है, लेकिन .01 स्तर मान से छोटा है। इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि औसत अंतर .05 के स्तर पर महत्वपूर्ण है, लेकिन .01 के महत्व के स्तर पर महत्वपूर्ण नहीं है।
उदाहरण 6:
(जब समूहों के आकार असमान होते हैं) एक रुचि परीक्षण एक व्यावसायिक प्रशिक्षण वर्ग में 6 लड़कों और एक लैटिन वर्ग में 10 लड़कों को दिया जाता है।
क्या दोनों समूहों के बीच अंतर अंतर .05 के स्तर पर महत्वपूर्ण है? एनोवा के माध्यम से अंतर के महत्व का परीक्षण करें।
एफ अनुपात की व्याख्या:
विचरण अनुपात या एफ 135/33 या 4.09 है। बीच के साधनों के लिए df 1 है और समूहों के भीतर df 14. 14. इन df के कॉलम 1 और पंक्ति 14 में पढ़ने के साथ तालिका F में प्रवेश करना है कि .05 का स्तर 4.60 है और .01 का स्तर 8.86 है। 4.09 की हमारी गणना एफ .05 स्तर तक नहीं पहुंचती है, इसलिए हमारे 6 अंकों के अंतर को महत्वपूर्ण नहीं माना जाना चाहिए। इसलिए अशक्त परिकल्पना स्वीकार की जाती है।
जब तुलना करने के लिए केवल दो साधन हैं, जैसे कि यहां; एफ = टी 2 या टी = = √F और दो परीक्षण (एफ और टी) बिल्कुल समान परिणाम देते हैं। उपरोक्त उदाहरण के लिए =F = √4.09 = 2.02। तालिका डी से हमने पाया कि 14 डीएफ के लिए इस टी के लिए .05 का महत्व 2.14 है।
2.02 का हमारा टी इस स्तर तक नहीं पहुंचता है और इसलिए (जैसे एफ) महत्वपूर्ण नहीं है।
उदाहरण 7:
(दो से अधिक समूह)
यह जाँचने के लिए एनोवा लागू करें कि क्या चार समूहों के साधन में काफी अंतर है:
चूंकि चार समूहों में 20 स्कोर हैं:
कुल एसएस (या एसएस 1 ) = (एन - 1) या 20 - 1 = 19 के लिए डीएफ
SS b = (K - 1) या 4 - 1 = 3 के लिए df
SS w = (N - K) या 20 - 4 = 16 के लिए df
एफ = 33.33 / 3.5 = 9.52
टी = √F = 3.08
एफ-अनुपात की व्याख्या:
विचरण अनुपात या एफ 9.52 है। बीच के साधनों के लिए df 3 है और समूहों के भीतर df 16 है। इन df s के साथ तालिका F में प्रवेश करने पर हम कॉलम 3 और पंक्ति 16 को पढ़ते हैं कि .05 का स्तर 3.24 है और .01 का स्तर 5.29 है।
9.52 की हमारी गणना एफ 5.29 से अधिक है। इसलिए एफ महत्वपूर्ण है। अशक्त परिकल्पना को इस निष्कर्ष के साथ खारिज कर दिया जाता है कि चार साधन 01 स्तर पर काफी भिन्न हैं।
(बी) हम विचरण का विश्लेषण करने में एक और उदाहरण लेंगे जब एक ही समूह को सहसंबद्ध समूहों के मामले में एक से अधिक बार मापा जाता है:
जब एक परीक्षण दिया जाता है और फिर दोहराया जाता है, तो विचरण के विश्लेषण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि क्या माध्य परिवर्तन महत्वपूर्ण है, (यानी सहसंबद्ध समूहों से प्राप्त साधनों के बीच अंतर का महत्व)।
उदाहरण 8:
(सहसंबद्ध समूहों के लिए)
अंक-प्रतीक परीक्षण में पाँच विषयों को क्रमिक परीक्षण दिए गए हैं, जिनमें से केवल 1 और 4 के परीक्षण के अंक दिखाए गए हैं। प्रारंभिक से अंतिम परीक्षण महत्वपूर्ण के लिए औसत लाभ है।
वर्तमान में विचरण के विश्लेषण की प्रक्रियाएँ ऊपर वर्णित विधियों से कम से कम दो तरीकों से भिन्न हैं।
पहला, चूंकि पहले और चौथे परीक्षण पर 5 विषयों द्वारा प्राप्त किए गए अंकों के बीच संबंध होने की संभावना है, इसलिए स्कोर के दो सेटों को स्वतंत्र (यादृच्छिक) नमूनों के रूप में नहीं माना जाना चाहिए।
दूसरे, वर्गीकरण अब दो मानदंडों के संदर्भ में है: (ए) परीक्षण और (बी) विषय।
इन दो मानदंडों के कारण, कुल एसएस को तीन भागों में विभाजित किया जाना चाहिए:
(ए) ट्रायल के लिए जिम्मेदार एसएस;
(बी) विषयों के लिए एसएस जिम्मेदार; तथा
(ग) एक अवशिष्ट एसएस को आमतौर पर "इंटरैक्शन" कहा जाता है
इन तीनों प्रकारों की गणना के चरणों को निम्नानुसार संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है:
चरण 1:
सुधार (C)। पिछली प्रक्रिया के अनुसार, C = ()X) 2 / N। उपरोक्त उदाहरण में C 90 2/10 या 810 है।
चरण 2:
वर्गों का कुल योग। फिर से गणना उदाहरण 1, 2 और 3 में नियोजित प्रक्रिया को दोहराती है।
कुल एसएस या एसएस t = 7 2 + 8 2 + 4 2 + 6 2 + 5 2 + 10 2 + 15 2 + 5 2 + 20 2 + 10 2 - C
= 1040 - 810 या 230।
चरण 3:
परीक्षणों के साधनों के बीच एस.एस. प्रत्येक 5 स्कोर के दो परीक्षण हैं।
इसलिए,
चरण 4:
विषयों के साधनों के बीच एस.एस. वर्गीकरण के दूसरे मानदंड का ध्यान रखने के लिए एक दूसरा "साधन के बीच" एसएस की आवश्यकता होती है। 5 छात्र / विषय हैं और प्रत्येक में दो परीक्षण हैं। प्रत्येक विषय / छात्र के पहले और चौथे परीक्षण के स्कोर को 17, 23, 9, 26, 15 प्राप्त करने के लिए जोड़ा जाता है।
इसलिये,
चरण 5:
बातचीत एस.एस. अवशिष्ट भिन्नता या अंतःक्रिया जो कुछ भी बचा है जब परीक्षण अंतर और विषय अंतर के व्यवस्थित प्रभाव कुल एसएस से हटा दिए गए हैं।
इंटरैक्शन विषय प्रदर्शन के लिए परीक्षण के साथ-साथ भिन्नता की प्रवृत्ति को मापता है: यह उन कारकों को मापता है जो न तो विषयों के लिए और न ही अकेले अभिनय करने वाले परीक्षणों के लिए, बल्कि दोनों एक साथ अभिनय करने के लिए।
बातचीत प्राप्त की जानी चाहिए एसएस और कुल एसएस से परीक्षण विषयों को घटाकर।
इस प्रकार,
इंटरैक्शन एसएस = एसएस टी - (एसएस विषय + एसएस परीक्षण ) = 230 - (90 + 90) = 50।
चरण 6:
चूंकि कुल एसएस के लिए हमारे (10 - 1) या 9 डीएफ में 10 स्कोर हैं। दो परीक्षणों में 1 df और 5 विषय मिलते हैं, 4. शेष 4 df को बातचीत के लिए सौंपा गया है। नियम यह है कि सहभागिता के लिए df दो अंतःक्रियात्मक चर के लिए df का उत्पाद है, यहाँ 1 x 4 = 4. सामान्य रूप से, N = कुल अंकों की संख्या, r = पंक्तियाँ और K = कॉलम हैं।
एफ-अनुपात की व्याख्या:
परीक्षण के लिए एफ 7.2 है। परीक्षणों के लिए एफ की गणना मूल्य 7.71 से कम है जिसे हम तालिका एफ में .05 अंक के लिए पढ़ते हैं जब डीएफ 1 = 1 और डीएफ 2 = 4।
इसका मतलब यह है कि परीक्षणों के संबंध में अशक्त परिकल्पना दस योग्य है और इसे स्वीकार किया जाना चाहिए। सबूत मजबूत है कि परीक्षण 1 से परीक्षण 4 तक कोई महत्वपूर्ण सुधार नहीं हुआ।
विषयों के लिए एफ 1.8 है और df 1 = 4 और df 2 = 4. के लिए तालिका F में 6.39 के .05 बिंदु से बहुत छोटा है। यह स्पष्ट है कि विषय दूसरों की तुलना में लगातार बेहतर नहीं हैं।
इसका मतलब यह है कि विषयों के संबंध में अशक्त परिकल्पना दस की है और इसे स्वीकार किया जाना चाहिए।
दो तरह से एनोवा:
कुछ ज्यामितीय अवधारणा को सिखाने के लिए यदि शिक्षण के विभिन्न तरीकों को छात्रों के दो या दो से अधिक समूहों पर लागू किया जाता है, तो हम इसे एक प्रयोगात्मक चर कहते हैं।
एक तरह से एनोवा में केवल एक कारक (यानी, एक स्वतंत्र चर) का अध्ययन किया जाता है। उदाहरण के लिए, जब हम यह परखना चाहते हैं कि शिक्षण के तरीकों का उपलब्धि पर कोई प्रभाव पड़ता है, तो हम आश्रित चर (अर्थात उपलब्धि) पर एक स्वतंत्र चर (यानी शिक्षण विधियों) के प्रभाव का अध्ययन करते हैं।
डेटा के सेट को केवल एक प्रयोगात्मक भिन्नता के आधार पर विभेदित किया जाता है। वर्गीकरण में केवल एक सिद्धांत है, डेटा को सेट में अलग करने का एक कारण।
इसके लिए हम यादृच्छिक पर तीन समूहों का चयन करें और इन तीन समूहों के लिए यादृच्छिक पर तीन अलग-अलग उपचारों, विधि -1, विधि -2 और विधि -3 निर्दिष्ट करें।
अंत में, तीन अलग-अलग समूहों के विषयों के उपलब्धि स्कोर एक उपयुक्त परीक्षण के माध्यम से प्राप्त किए जा सकते हैं।
फिर एनोवा को नियोजित करके हम यह परीक्षण कर सकते हैं कि क्या इन तीन समूहों के साधन में काफी अंतर है।
दो-तरफ़ा वर्गीकरण या दो-तरफ़ा एनोवा में, वर्गीकरण के दो अलग-अलग आधार हैं। दो प्रायोगिक स्थितियों को समूह से दूसरे समूह में भिन्न करने की अनुमति है। मनोवैज्ञानिक प्रयोगशालाओं में, अलग-अलग कृत्रिम एयरफील्ड लैंडिंग स्ट्रिप्स, जिनमें से प्रत्येक में चिह्नों के एक अलग पैटर्न के साथ, अलग-अलग स्तरों पर अपारदर्शिता पर कोहरे के माध्यम से दृष्टि को उत्तेजित करने के लिए एक प्रसार स्क्रीन के माध्यम से देखा जा सकता है।
एक शैक्षिक समस्या में, एक निश्चित ज्यामितीय अवधारणा को पढ़ाने के चार तरीकों को पांच अलग-अलग शिक्षकों द्वारा लागू किया जा सकता है, प्रत्येक चार विधियों में से हर एक का उपयोग करके। इसलिए शिक्षक और विधि के 20 संयोजन होंगे।
निम्नलिखित तालिका आपको आगे बता सकती है:
नीचे दिए गए उदाहरण में, उपलब्धि स्कोर पर निर्देश के तीन तरीकों के प्रभावों का अध्ययन किया जाता है। लेकिन यह उम्मीद की जाती है कि निर्देशों के तरीकों का विषयों के सामाजिक-आर्थिक स्थिति (एसईएस) के स्तर के आधार पर अलग-अलग प्रभाव पड़ेगा।
तो, हम एक अध्ययन डिजाइन कर सकते हैं जिसमें दो चर का प्रभाव अर्थात सामाजिक-आर्थिक स्थिति (एसईएस) के स्तरों के निर्देश और प्रभाव के तरीकों का प्रभाव एक साथ अध्ययन किया जा सकता है। इस डिजाइन में हम बातचीत प्रभाव का भी अध्ययन कर सकते हैं। इस तरह के डिजाइनों के लिए दो-तरफा एनोवा की तकनीकें कार्यरत हैं।
उदाहरण 9:
छात्रों के छह समूह (प्रत्येक में पांच छात्र), छह उपचार स्थितियों के लिए यादृच्छिक पर चुने गए हैं। निम्नलिखित उदाहरण के लिए दो कारकों अर्थात, कारक A (सामाजिक-आर्थिक स्थिति) और कारक B (शिक्षा के तरीके) के प्रभाव का अध्ययन करें।
उपाय:
उपरोक्त उदाहरण में हमने एसईएस के दो स्तरों को लिया है। ए 1 श्रेणी में उच्च एसईएस और ए 2 श्रेणी में लो एसईएस और इंस्ट्रक्शंस अर्थात बी 1 (व्याख्यान), बी 2 (चर्चा) और बी 3 के तीन तरीके। खेल मार्ग)।
प्रयोग में उपचार की कुल संख्या 2 x 3 = 6 होगी। यहाँ n = 5 और अवलोकन की कुल संख्या N = 5 x 3 = 30 होगी।
भव्य कुल, totalX = 30 + 50 + 40 + 25 + 45 + 35 = 225।
छह विभिन्न उपचार समूहों को 'इंटरेक्शन टेबल' में प्रस्तुत किया जा सकता है, जैसा कि नीचे दिया गया है:
निर्देश के तीन तरीकों के लिए तीन कॉलम हैं (।। c = 3)। पंक्ति योगों का उपयोग ए (एसईएस) के लिए एसएस की गणना के लिए किया जाता है। कॉलम योगों का उपयोग बी के लिए एसएस की गणना के लिए किया जाता है (निर्देश के तरीके)।
विभिन्न प्रकार की गणनाओं के चरणों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है:
चरण 1:
चरण 2:
कुल एसएस या एसएस टी = ∑X 2 - C. यहाँ पर सभी तीस स्कोर स्क्वेर्ड और जोड़े गए हैं और C घटाया गया है।
SS t = 5 2 + 7 2 + ……… + 10 2 + 7 2 - 1687.5 = 1919 - 1687.5 / 231.5
चरण 3:
सभी छह उपचार स्थितियों के लिए समूह एसएस या एसएस बी = कुल (2X) 2 / n के बीच - सी।
चरण 4:
समूहों के भीतर एसएस या एसएस डब्ल्यू = एसएस टी - एसएस बी = 231.5 - 87.5 = 144
चरण 5:
अब 87.5 के बीच "एसएस एसएस" या एसएस बी को तीन भागों में विभाजित किया जा सकता है। एसएस ए, एसएस बी और एसएस एबी यानी एसएस बी = एसएस ए + एसएस बी + एसएस एबी
जहां ए 1 और ए 2 के विचलन से उत्पन्न कारक ए (एसईएस) का एसएस ए = एसएस का मतलब कुल अंकों के माध्यम से होता है।
एसएस बी = बी 1, बी 2 और बी 3 के विचलन से उत्पन्न कारक बी (विधियों) का एसएस कुल अंकों के माध्यम से मतलब है।
चरण 6:
विभिन्न एसएस के लिए स्वतंत्रता की डिग्री
हमारी समस्या में हमारे 6 समूह हैं
.˙। के = ६
n = 5 और N = 6 xn = 6 x 5 = 30।
इंटरैक्शन टेबल में दो पंक्तियाँ और तीन कॉलम हैं
.˙। r = 2 और C = 3।
डीएफ का विभाजन निम्नानुसार किया जा सकता है:
SS t = N - 1 = 30 - 1 या 29 के लिए df
SS b = K - 1 = 6 - 1 या 5 के लिए df
SS W = K (n - 1) = 6 x 4 या 24 के लिए df
डीएफ फॉक्स एसएस बी, को तीन भागों में विभाजित किया जा सकता है:
(i) SSA = r - 1 = 2 - 1 या 1 के लिए df
(ii) SSB = c - 1 = 3 - 1 या 2 के लिए df
(iii) SS AB = (r - 1) (C - 1) = 1 x 2 या 2 के लिए df
अब हम उपरोक्त गणना को दो-तरफ़ा एनोवा सारांश तालिका में दर्ज कर सकते हैं:
एफ अनुपात की व्याख्या:
(ए) एस के लिए एफ या ए के लिए एफ
F = MS A / MS W = 7.5 / 6.0 = 1.25
(.052 एक से कम है)
जैसा कि 1.25 <4.26 के .05 के स्तर पर हम शून्य परिकल्पना को बनाए रखते हैं कि यादृच्छिक पर चुने गए दो समूह सामाजिक-आर्थिक स्थिति के आधार पर उपलब्धि स्कोर पर भिन्न नहीं होते हैं।
6.67> 5.6 से .01 स्तर पर F के रूप में, हम अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं। हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि निर्देश के तीन तरीके उपलब्धि स्कोर को अलग तरह से प्रभावित करते हैं।
F के 0.00 <1 के रूप में, हम अशक्त परिकल्पना को बनाए रखते हैं। हम बिना बातचीत के शून्य परिकल्पना को स्वीकार करते हैं। हम निष्कर्ष निकालते हैं कि तरीकों की प्रभावशीलता सामाजिक-आर्थिक स्थिति के स्तर पर निर्भर नहीं करती है।
