सामान्य संभावना वक्र: संगणना, अभिलक्षण और अनुप्रयोग
आंकड़ों में सामान्य संभावना वक्र की गणना, विशेषताओं और अनुप्रयोगों के बारे में जानने के लिए इस लेख को पढ़ें।
सामान्य संभावना वक्र की संगणना:
यदि एक सिक्का निष्पक्ष रूप से उछाला जाता है तो यह या तो सिर (एच) या पूंछ (टी) में गिर जाएगा। यह सिर दिखने की संभावना दो में एक मौका है। तो H का प्रायिकता अनुपात prob और T है।
इसी तरह हम दो सिक्के उछालेंगे, सिक्का x और सिक्का y गिरने के चार संभावित तरीके हैं।
इस प्रकार चार संभावित तरीके हैं- x और y दोनों H गिर सकते हैं, x T गिर सकते हैं और Y H, x H गिर सकते हैं और YT या दोनों T गिर सकते हैं।
अनुपातों में व्यक्त किया गया
दो सिर की संभावना = =
दो पूंछ की संभावना = ails
एक एच और एक टी = and की संभावना
एक टी और एक एच = and की संभावना
इस प्रकार अनुपात the + ½ + ratio = 1.00 है
दो सिक्कों के सिर और पूंछ की अपेक्षित उपस्थिति इस प्रकार व्यक्त की जा सकती है:
(H + T) 2 = H 2 + 2HT + T 2
अगर हम सिक्कों की संख्या तीन यानी x, y और Z तक बढ़ा देंगे, तो आठ संभव व्यवस्थाएं हो सकती हैं।
सिक्कों के सिर और पूंछ की अपेक्षित उपस्थिति इस प्रकार व्यक्त की जा सकती है:
इस प्रकार हम किसी भी संख्या के सिक्कों के सिर और पूंछ के विभिन्न संयोजनों की संभावना निर्धारित कर सकते हैं। हम द्विपद विस्तार द्वारा किसी भी संख्या के सिक्कों की संभावना प्राप्त कर सकते हैं। दो शब्दों वाली एक अभिव्यक्ति को द्विपद अभिव्यक्ति कहा जाता है। द्विपद प्रमेय एक बीजगणितीय सूत्र है जो एक श्रृंखला के रूप में द्विपद अभिव्यक्ति की शक्ति का विस्तार करता है।
सूत्र इस तरह पढ़ता है:
(H + T) n = C (n, 0) H n + C (n, 1) H n-1 T + C (n, 2) H ( n-2) T 2 …।
… + सी (एन, आर) एच एनआर टी आर +…। + C (n, n) T n … (11.1)
जहाँ C = संभव संयोग।
सी (एन, आर) = एन! / आर! (एन - आर)!
n! 1 x 2 x 3 x… का अर्थ है। xn
n = टिप्पणियों या व्यक्तियों की कुल संख्या।
r = एक बार में ली गई टिप्पणियों या व्यक्तियों की संख्या।
इस प्रकार द्विपद का विस्तार
यदि उपरोक्त आंकड़ों को हिस्टोग्राम और आवृत्ति बहुभुज के रूप में एक ग्राफ पर प्लॉट किया जाता है तो यह नीचे की तरह होगा (अंजीर। 11.1)
इस प्रकार हमने 10 सिक्कों (एच + टी) 10 के टॉस से प्राप्त आंकड़ा एक सममित कई पक्षीय बहुभुज है।
और अगर हम सिक्कों की संख्या में वृद्धि पर जाएंगे, तो प्रत्येक वृद्धि के साथ बहुभुज पूरी तरह से चिकनी सतह रेखा का प्रदर्शन करेगा, जो नीचे दिए गए चित्र -11.2 है:
इस घंटी के आकार के वक्र को 'सामान्य संभावना वक्र' कहा जाता है। इस प्रकार "सामान्य वितरण की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का ग्राफ एक निरंतर घंटी के आकार का वक्र है, जो औसत के बारे में सममित है" सामान्य संभावना वक्र कहा जाता है।
आंकड़ों में यह महत्वपूर्ण है क्योंकि:
(ए) यह कई स्वाभाविक रूप से होने वाले चर का वितरण है, जैसे 8 वीं कक्षा के छात्रों की बुद्धि, 10 वीं कक्षा के छात्रों की ऊंचाई आदि।
(b) अधिकांश अभिभावकों की आबादी से खींचे गए नमूनों के साधनों का वितरण सामान्य या लगभग तब होता है जब नमूने पर्याप्त रूप से बड़े होते हैं।
इसलिए सामाजिक विज्ञान और व्यवहार विज्ञान में सामान्य वक्र का बहुत महत्व है। व्यवहारिक माप में अधिकांश पहलू सामान्य वितरण का अनुमान लगाते हैं। ताकि सामान्य संभावना वक्र या एनपीसी के रूप में सबसे लोकप्रिय ज्ञात एक संदर्भ वक्र के रूप में उपयोग किया जाता है। एनपीसी की उपयोगिता को समझने के लिए हमें एनपीसी के गुणों को समझना होगा।
सामान्य संभाव्यता वक्र के लक्षण:
सामान्य संभाव्यता वक्र की कुछ प्रमुख विशेषताएं इस प्रकार हैं:
1. वक्र द्विपक्षीय रूप से सममित है।
वक्र वक्र के केंद्रीय बिंदु के अपने समन्वय के सममित है। इसका मतलब है कि वक्र के एक तरफ वक्र का आकार, आकार और ढलान वक्र के दूसरी तरफ के समान है। यदि वक्र को द्विभाजित किया जाता है, तो उसका दाहिना हाथ पूरी तरह से बाएं हाथ की तरफ से मेल खाता है।
2. वक्र स्पर्शोन्मुख है:
सामान्य संभाव्यता वक्र क्षैतिज अक्ष पर पहुंचता है और ve से + ve तक विस्तारित होती है। इसका मतलब है कि वक्र के चरम सिरे बेस लाइन को छूते हैं लेकिन इसे कभी नहीं छूते हैं।
इसे नीचे दिए गए चित्र (11.3) में दर्शाया गया है:
3. माध्य, माध्य और विधा:
माध्य, माध्य और मोड मध्य बिंदु पर आते हैं और वे संख्यात्मक रूप से बराबर होते हैं।
4. विभक्ति के बिंदु oints 1 मानक विचलन इकाई में होते हैं:
एनपीसी में आमद के बिंदु औसत से ऊपर और नीचे इकाई के लिए σ 1 unit पर होते हैं। इस प्रकार इस बिंदु पर वक्र क्षैतिज अक्ष के संबंध में उत्तल से अवतल में बदल जाता है।
5. एनपीसी का कुल क्षेत्र i मानक विचलन में विभाजित है:
एनपीसी की कुल छह मानक विचलन इकाइयों में विभाजित है। केंद्र से यह तीन + ve 'मानक विचलन इकाइयों और तीन -ve' मानक विचलन इकाइयों में विभाजित है।
इस प्रकार एनपीसी के cases 3 separately में अलग-अलग मामलों की संख्या अलग-अलग होती है। Between 1 68 के बीच में मध्य 2 / 3rd मामले या 68.26%, σ 2± के बीच 95.44% मामले और σ 3 between के बीच 99.73% झूठ और + 3σ से परे केवल 0.37% मामले आते हैं।
6. वाई ऑर्डिनेट सामान्य संभावना वक्र की ऊंचाई का प्रतिनिधित्व करता है:
NPC का Y ऑर्डिनेट वक्र की ऊंचाई को दर्शाता है। केंद्र में अधिकतम समन्वय होता है। मध्यमान या मध्य बिंदु पर वक्र की ऊंचाई को Y 0 के रूप में दर्शाया जाता है।
किसी भी बिंदु पर वक्र की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:
7. यह असिमित है:
वक्र में केवल एक शिखर बिंदु होता है। क्योंकि अधिकतम आवृत्ति केवल एक बिंदु पर होती है।
8. वक्र की ऊंचाई सममित रूप से गिरावट आती है:
वक्र की ऊंचाई दोनों दिशा से केंद्रीय बिंदु से सममित रूप से गिरती है। यदि माध्य से दूरी समान है तो M + σ और M - the बराबर हैं।
9. एनपीसी का मतलब PC है और मानक विचलन PC है:
चूंकि एनपीसी का मतलब जनसंख्या का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए इसका प्रतिनिधित्व Me (मेउ) द्वारा किया जाता है। वक्र के मानक विचलन को ग्रीक पत्र, the द्वारा दर्शाया गया है।
10. सामान्य संभावना में मानक विचलन वक्र 50% Q से बड़ा है:
NPC में Q को आमतौर पर संभावित त्रुटि या PE कहा जाता है।
पीई और एक के बीच संबंध निम्नानुसार कहा जा सकता है:
1 पीई = .6745σ
1PE = 1.4826PE।
11. क्यू का उपयोग किसी दिए गए भाग के भीतर क्षेत्र के निर्धारण में माप की एक इकाई के रूप में किया जा सकता है:
12. एनपीसी के औसत के बारे में औसत विचलन है ।798σ:
एनपीसी में मानक विचलन और औसत विचलन के बीच एक निरंतर संबंध है।
13. मॉडल का समन्वय मानक विचलन के अनुसार बढ़ता है:
एक सामान्य संभाव्यता वक्र में मोडल ऑर्डिनेट मानक विचलन में तेजी से बदलता है। सामान्य संभाव्यता वक्र का मानक विचलन बढ़ता है, मोडल ऑर्डिनेट घटता है और इसके विपरीत।
सामान्य संभावना वक्र के अनुप्रयोग:
सामान्य प्रायिकता वक्र के सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से कुछ इस प्रकार हैं:
सामान्य संभाव्यता वक्र के सिद्धांतों को कई अलग-अलग क्षेत्रों में व्यवहार विज्ञान में लागू किया जाता है।
1. एनपीसी का उपयोग दी गई सीमाओं के भीतर एक सामान्य वितरण में मामलों के प्रतिशत को निर्धारित करने के लिए किया जाता है:
सामान्य संभावना वक्र हमें निर्धारित करने में मदद करता है:
मैं। वितरण के दो अंकों के बीच कितने प्रतिशत मामले गिरते हैं।
ii। किसी वितरण के किसी विशेष स्कोर के ऊपर कितने प्रतिशत अंक होते हैं।
iii। किसी वितरण के किसी विशेष स्कोर के नीचे कितने प्रतिशत अंक होते हैं।
उदाहरण:
२४ और with के माध्य से प्राप्तांकों के वितरण को देखते हुए। सामान्यता मानकर 16 और 32 के बीच कितने प्रतिशत मामले गिरेंगे।
उपाय:
यहां सबसे पहले हमें 16 और 32 दोनों स्कोर को एक मानक स्कोर में बदलना होगा।
एनपीसी के तहत तालिका क्षेत्र में दर्ज करते हुए, यह पाया जाता है कि 34.13 मामले माध्य के बीच आते हैं और - 13 और 34.13 मामले माध्य और + 1σ के बीच आते हैं। इसलिए। Σ में 68.26% मामले शामिल हैं। ताकि ६ 32.२५% मामले १६ और ३२ के बीच गिरेंगे।
उदाहरण:
40 के औसत के साथ स्कोर के वितरण को देखते हुए और 8. सामान्यता को मानते हुए कि स्कोर 36 के ऊपर कितने प्रतिशत मामलों में नीचे और नीचे झूठ होगा।
उपाय:
सबसे पहले हमें कच्चे स्कोर 36 को मानक स्कोर में बदलना होगा।
टेबल-ए में एनपीसी के तहत तालिका क्षेत्र में प्रवेश करने पर पता चलता है कि 19.15% मामले मीन और -.5σ के बीच आते हैं। इसलिए स्कोर 36 से ऊपर के मामलों का कुल प्रतिशत 50 + 19.15 = 69.15% है और स्कोर 36 से नीचे 50-19.15 = 30.85% है। इसलिए वितरण में 69.15% मामले स्कोर 36 से ऊपर हैं और 30.85% अंक स्कोर 36 से नीचे हैं।
2. NPC का उपयोग उस स्कोर के मान को निर्धारित करने के लिए किया जाता है जिसका प्रतिशत रैंक दिया गया है:
एनपीसी तालिका का उपयोग करके हम व्यक्ति के कच्चे स्कोर का निर्धारण कर सकते हैं यदि प्रतिशत रैंक दिया जाता है।
उदाहरण:
आंकड़ों में एक डोज़ पिंकी की प्रतिशतता रैंक के वितरण में 65 है। वितरण का मतलब 10. के मानक विचलन के साथ 55 है। ढूँढें लेकिन सांख्यिकी में पिंकी का कच्चा स्कोर।
उपाय:
पिंकी की प्रतिशतता रैंक 65 है, इसलिए सामान्य वितरण में उसकी स्थिति औसत से 35% अधिक है। तालिका 'ए' में प्रवेश करके हमने पाया कि माध्य से 35% + 1.04 table है।
'Z' स्कोर में मान डालकर।
3. एनपीसी का उपयोग एक सामान्य वितरण में सीमाएं खोजने के लिए किया जाता है जिसमें दिए गए मामलों का प्रतिशत शामिल होता है:
जब वितरण सामान्य रूप से वितरित किया जाता है और जिसे हम वितरण के बारे में जानते हैं, वह मीन है और उस समय मानक विचलन NPC के तहत तालिका क्षेत्र का उपयोग करके हम उन सीमाओं को निर्धारित कर सकते हैं जिनमें मामलों का एक प्रतिशत शामिल है।
उदाहरण:
20 के माध्य के साथ स्कोर के वितरण को देखते हुए और 5. यदि हम सामान्यता मान लेते हैं कि किन सीमाओं में मध्य 75% मामले शामिल होंगे।
उपाय:
एक सामान्य वितरण में मध्य 75% मामलों में औसत से ऊपर 37.5% मामले और औसत से नीचे 37.5% मामले शामिल हैं। टेबल-ए से हम कह सकते हैं कि 37.5% मामलों में 1.15 we यूनिट शामिल हैं। इसलिए मध्य 75% मामले औसत और σ 1.15 cases इकाइयों के बीच स्थित हैं।
तो इस वितरण के मध्य में 75% मामलों में सीमाएं 14.25 से 25.75 तक शामिल होंगी।
4. इसका उपयोग दो वितरणों की तुलना करने के लिए किया जाता है- अतिव्यापी:
यदि किसी विशेष चर पर दो समूहों के स्कोर सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं। समूह के बारे में हम जो जानते हैं, वह दोनों समूहों का औसत और मानक विचलन है। और हम यह जानना चाहते हैं कि पहला समूह उस समय दूसरे समूह को ओवर-लैप करता है या इसके विपरीत हम एनपीसी के तहत तालिका क्षेत्र का उपयोग करके यह निर्धारित कर सकते हैं।
5. एनपीसी हमें एक समूह को निश्चित क्षमता के अनुसार उप-समूहों में विभाजित करने और ग्रेड प्रदान करने में मदद करता है:
जब हम उस समय कुछ निर्दिष्ट क्षमता के अनुसार एक बड़े समूह को कुछ उप-समूहों में विभाजित करना चाहते हैं तो हम एनपीसी के मानक विचलन इकाइयों को पैमाने की इकाइयों के रूप में उपयोग करते हैं।
उदाहरण:
600 वीं कक्षा के छात्रों के लिए एक उपलब्धि परीक्षा दी गई थी। शिक्षक इन छात्रों को टेस्ट में उनके प्रदर्शन के अनुसार 4 ग्रेड अर्थात् ए, बी, सी और डी में असाइन करना चाहता है। स्कोर के वितरण की सामान्यता को मानते हुए प्रत्येक समूह में छात्रों की संख्या की गणना की जा सकती है।
उपाय:
एनपीसी के तहत क्षेत्र को or 3 or इकाइयों या 6। इकाइयों में विभाजित किया गया है।
यहां हमें छात्रों को 4 वर्गों में विभाजित करना है।
तो प्रत्येक अनुभाग में है
इसलिए यदि हम योग्यता के क्रम में अनुभाग वितरित करेंगे।
अनुभाग-ए 1.5σ से 3-के भीतर होगा
धारा B मतलब 1.5σ के भीतर होगी
धारा C, मीन से 1-1 Mean के भीतर होगी
और सेक्शन डी 1-1.5 से - 3 with के साथ होगा।
6. एनपीसी परीक्षण वस्तुओं या समस्याओं की सापेक्ष कठिनाई को निर्धारित करने में मदद करता है:
जब यह जाना जाता है कि कितने प्रतिशत छात्रों ने सफलतापूर्वक एक समस्या को हल किया है, तो हम एनपीसी के तहत तालिका क्षेत्र का उपयोग करके आइटम या समस्या के कठिनाई स्तर को निर्धारित कर सकते हैं।
7. एनपीसी एक आवृत्ति वितरण को सामान्य करने के लिए उपयोगी है:
एक आवृत्ति वितरण को सामान्य करने के लिए हम सामान्य संभाव्यता वक्र का उपयोग करते हैं। मनोवैज्ञानिक परीक्षण के मानकीकरण की प्रक्रिया के लिए यह प्रक्रिया बहुत आवश्यक है।
8. हम एनपीसी का उपयोग करने वाले प्रयोगों की टिप्पणियों के महत्व का परीक्षण करने के लिए:
एक प्रयोग में हम चर के बीच संबंधों का परीक्षण करते हैं कि क्या ये संयोग के उतार-चढ़ाव या नमूने प्रक्रिया की त्रुटियों के कारण हैं या यह वास्तविक संबंध है। यह एनपीसी के तहत टेबल क्षेत्र की मदद से किया जाता है।
9. NPC का उपयोग नमूने से जनसंख्या के सामान्यीकरण के लिए किया जाता है:
हम माध्य की मानक त्रुटि, मानक विचलन की मानक त्रुटि और अन्य आँकड़ों की गणना करते हैं, जहाँ से नमूना तैयार किया जाता है। इस गणना के लिए हम एनपीसी के तहत तालिका क्षेत्र का उपयोग करते हैं।
