वाक्यगत परिकलन: प्रतीकात्मकता, सत्य कार्य और उनकी अंतर्वेदना

वाक्यगत गणना: प्रतीकात्मकता, सत्य कार्य और उनकी अंतःक्रिया!

प्रतीक चिह्न - विशेष प्रतीकों का मूल्य:

अंग्रेजी या किसी अन्य प्राकृतिक भाषा में प्रस्तुत तर्क अक्सर उपयोग किए जाने वाले शब्दों के अस्पष्ट और समान स्वभाव के कारण, उनके निर्माण की अस्पष्टता, उनके द्वारा भ्रामक मुहावरों, उनके संभावित रूपक रूपक रूपक शैली, और व्याकुलता के कारण को समझना मुश्किल है। जो भी भावनात्मक महत्व वे व्यक्त कर सकते हैं।

इन कठिनाइयों के हल होने के बाद भी तर्क की वैधता या अमान्यता निर्धारित करने की समस्या अभी भी बनी हुई है। उन परिधीय कठिनाइयों से बचने के लिए, इस तरह के दोषों से मुक्त एक कृत्रिम प्रतीकात्मक भाषा स्थापित करना सुविधाजनक है, जिसमें बयान और तर्क तैयार किए जा सकते हैं।

एक विशेष तार्किक संकेतन का उपयोग आधुनिक तर्क के लिए अजीब नहीं है। अरस्तू ने अपने स्वयं के काम को सुविधाजनक बनाने के लिए चर का भी उपयोग किया। यद्यपि आधुनिक और शास्त्रीय तर्क के बीच इस संबंध में अंतर एक तरह का नहीं है, लेकिन डिग्री का अंतर जबरदस्त है।

आधुनिक तर्क ने अपनी विशेष तकनीकी भाषा को जितना अधिक विकसित किया है, उसने विश्लेषण और कटौती के लिए इसे अधिक शक्तिशाली उपकरण बना दिया है। आधुनिक तर्क के विशेष प्रतीक हमें अधिक स्पष्टता के साथ प्रदर्शनों और तर्कों की तार्किक संरचनाओं को प्रदर्शित करने में मदद करते हैं जिनके रूप सामान्य भाषा की अनिच्छा से अस्पष्ट हो सकते हैं।

तर्कशास्त्री के विशेष प्रतीकों का एक और मूल्य वह सहायता है जो वे बयानों और तर्कों के वास्तविक उपयोग और हेरफेर में देते हैं। यहाँ की स्थिति अरबी अंकन द्वारा रोमन अंकों के प्रतिस्थापन के लिए अग्रणी है। हम सभी जानते हैं कि अरबी अंक स्पष्ट और पुराने रोमन अंकों की तुलना में अधिक आसानी से समझे जाते हैं कि वे विस्थापित हो गए हैं।

लेकिन अरबी अंकों की वास्तविक श्रेष्ठता केवल संगणना में ही सामने आती है। कोई भी छात्र आसानी से 113 को 9. से गुणा कर सकता है, लेकिन IX द्वारा CXIII को गुणा करना एक अधिक कठिन काम है, और कठिनाई बढ़ जाती है क्योंकि बड़ी और बड़ी संख्या को माना जाता है। इसी तरह, विशेष तार्किक तर्क को अपनाने के द्वारा इनफॉर्म्स का आरेखण और तर्कों का मूल्यांकन बहुत सुविधाजनक है।

आधुनिक तर्कशास्त्री सोचते हैं कि प्रतीकात्मकता की सहायता से, हम आँख से लगभग यंत्रवत तर्क में बदलाव कर सकते हैं, जो अन्यथा मस्तिष्क के उच्च संकायों को खेलने में कहेंगे।

इस दृष्टि से, विरोधाभासी रूप से पर्याप्त, तर्क का संबंध हमारी विचार शक्तियों को विकसित करने से नहीं है, बल्कि विकासशील तकनीकों से है, जो हमें इतना सोचने के बिना कुछ कार्यों को पूरा करने की अनुमति देती हैं।

सांकेतिक शब्दों में बदलना, निषेध और अस्वीकृति के लिए प्रतीक:

हम सभी कथनों को दो सामान्य श्रेणियों, सरल और यौगिक में विभाजित करते हैं। एक साधारण कथन वह होता है जिसमें घटक के रूप में कोई अन्य कथन नहीं होता है। उदाहरण के लिए, "सुधीर का ईमानदार" एक साधारण कथन है। एक यौगिक कथन वह है जिसमें एक घटक के रूप में एक और कथन होता है। उदाहरण के लिए, "सुधीर का ईमानदार और सुधीर का बुद्धिमान" एक यौगिक कथन है, क्योंकि इसमें घटकों के रूप में दो सरल कथन हैं।

एक बयान के एक घटक की धारणा काफी सीधी है, हालांकि यह बिल्कुल वैसा ही नहीं है जैसा कि "एक हिस्सा जो स्वयं एक बयान है।" उदाहरण के लिए, बयान के अंतिम चार शब्द "जिस आदमी ने लिंकन को गोली मारी थी वह एक अभिनेता था" वास्तव में अपने आप में एक बयान के रूप में माना जा सकता है। लेकिन यह कथन उस बड़े वक्तव्य का एक घटक नहीं है, जिसके चार शब्द एक हिस्सा हैं।

उस कथन के एक घटक के कथन के लिए दो शर्तों को पूरा करना होगा: पहला, भाग को अपने आप में एक कथन होना चाहिए, और दूसरा, यदि भाग को किसी अन्य कथन द्वारा बड़े बयान में बदल दिया जाए, उस प्रतिस्थापन का परिणाम सार्थक होगा। हालांकि पहली शर्त दिए गए उदाहरण में संतुष्ट है, लेकिन दूसरी नहीं है। यदि "लिंकन एक अभिनेता था" के स्थान पर "अफ्रीका में शेर हैं", तो इसका परिणाम निरर्थक अभिव्यक्ति है "जिस आदमी ने गोली मारी वह अफ्रीका में शेर हैं।"

संयोजन :

संयोजन एक प्रकार का यौगिक कथन है। हम उनके बीच "और" शब्द रखकर दो कथनों के संयोजन को बना सकते हैं; दो बयानों को संयुक्त रूप से "conjuncts" कहा जाता है। इस प्रकार यौगिक कथन "सुधीर का ईमानदार और सुधीर का बुद्धिमान" एक संयोजन है, जिसका पहला संयोजन "सुधीर का ईमानदार" है और जिसका दूसरा संयोजन "सुधीर का बुद्धिमान" है।

शब्द "और" एक छोटा और सुविधाजनक शब्द है, लेकिन इसमें कनेक्टिंग स्टेटमेंट के अलावा अन्य उपयोग हैं। उदाहरण के लिए, "नेहरू और नेताजी समकालीन थे" बयान एक संबंध नहीं है, बल्कि एक साधारण कथन है। एक अद्वितीय प्रतीक है, जिसका एकमात्र कार्य संयोजी रूप से बयानों को जोड़ना है, हम संयोजन के लिए हमारे प्रतीक के रूप में डॉट "•" का परिचय देते हैं। इस प्रकार पिछले संयोजन को "सुधीर के ईमानदार सुधीर के बुद्धिमान" के रूप में लिखा जा सकता है। आम तौर पर, जहां p और q कोई भी दो कथन हैं, उनका संयुग्मन p • q लिखा जाता है।

हम जानते हैं कि प्रत्येक कथन या तो सही है या गलत है। इसलिए, हम कहते हैं, प्रत्येक कथन का सत्य मूल्य होता है, जहां एक सच्चे कथन का सत्य मूल्य सत्य होता है, और झूठे कथन का सत्य मूल्य गलत होता है। "सत्य मूल्य" की इस अवधारणा का उपयोग करते हुए हम यौगिक कथनों को दो अलग-अलग श्रेणियों में विभाजित कर सकते हैं, इसके अनुसार यौगिक विवरण का सत्य मान उसके घटकों के सत्य मूल्यों से पूर्णतया निर्धारित किया जाता है, या सत्य मूल्यों के अलावा किसी अन्य चीज द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसके घटकों की।

हम इस अंतर को Conjunctions पर लागू करते हैं। दो कथनों के संयोजन का सत्य मान पूरी तरह से और पूरी तरह से इसके दो संयुग्मों के सत्य मूल्यों से निर्धारित होता है। यदि इसके दोनों समुच्चय सत्य हैं, तो संयुग्मन सत्य है; अन्यथा यह गलत है। इस कारण से एक संयुग्मन को एक सत्य-कार्यात्मक यौगिक कथन कहा जाता है, और इसके संयुग्मों को इसके सत्य-कार्यात्मक घटक कहा जाता है।

हालांकि हर यौगिक कथन सत्य-कार्यात्मक नहीं है। हमारे वर्तमान उद्देश्यों के लिए, हम एक यौगिक कथन के एक घटक को सत्य के रूप में परिभाषित करते हैं - इसका कार्यात्मक घटक प्रदान किया गया है, यदि घटक को यौगिक में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो एक दूसरे के समान सत्य मूल्य वाले विभिन्न बयानों द्वारा, विभिन्न यौगिक बयानों का उत्पादन किया जाता है उन प्रतिस्थापनों द्वारा भी एक दूसरे के समान सत्य मूल्य होंगे। और अब हम एक कंपाउंड स्टेटमेंट को एक सत्य-कार्यात्मक कंपाउंड स्टेटमेंट के रूप में परिभाषित करते हैं यदि इसके सभी घटक इसके सत्य-कार्यात्मक घटक हैं।

एक संयुग्मन एक सत्य-कार्यात्मक यौगिक कथन है, इसलिए हमारा डॉट प्रतीक एक सत्य-कार्यात्मक संयोजी है। किसी भी दो बयानों को देखते हुए, /; और क्ष, सत्य मूल्यों के केवल चार संभावित सेट हैं जो उनके पास हो सकते हैं। ये चार संभावित मामले और प्रत्येक में संयुग्मन के सत्य मान को निम्न प्रकार से प्रदर्शित किया जा सकता है:

जहाँ p सत्य है और q सत्य है, p • q सत्य है।

जहां p सच है और q गलत है, p • q गलत है।

जहां p गलत है और q सत्य है, p • q गलत है।

जहां p गलत है और q गलत है, p • q गलत है।

यदि हम बड़े अक्षरों T और F द्वारा सत्य मानों को "सत्य" और "असत्य" का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो एक संयोजन के सत्य मूल्यों द्वारा एक संयुग्मन के सत्य मूल्य का निर्धारण एक सत्य के माध्यम से अधिक संक्षेप और अधिक स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है तालिका के रूप में

यह सरल है कि साधारण शब्दों में बड़े अक्षरों में संक्षिप्त रूप में, इस उद्देश्य के लिए इस पत्र का उपयोग करने से हमें यह याद रखने में मदद मिलेगी कि यह किस कथन को संक्षिप्त करता है। इस प्रकार हमें "सुधीर के ईमानदार और सुधीर के बुद्धिमान" को एच • आई के रूप में संक्षिप्त करना चाहिए।

कुछ संकेत दोनों जिनके संयोजन की एक ही विषय अवधि है - उदाहरण के लिए, "बायरन एक महान कवि थे और बायरन एक महान साहसी थे" - और अधिक संक्षिप्त रूप में और शायद स्वाभाविक रूप से अंग्रेजी में "और" विधेय शर्तों के बीच रखकर और कहा जाता है। "बायरन एक महान कवि और एक महान साहसी थे।" इस विषय को दोहराते हुए, अपने उद्देश्यों के लिए, हम उत्तरार्द्ध को तैयार करने के रूप में मानते हैं।

पूर्व जैसा ही कथन और पी • ए के रूप में एक उदासीनता का प्रतीक है। यदि किसी संयोजन के दोनों शब्दों का एक ही विधेय शब्द है, जैसा कि "लुईस एक प्रसिद्ध खोजकर्ता था और क्लार्क एक प्रसिद्ध खोजकर्ता थे, " फिर से संयोजन आमतौर पर होगा। विषय की शर्तों के बीच "और" को रखकर अंग्रेजी में कहा गया है और विधेय को नहीं दोहरा रहा है, जैसा कि "लुईस और क्लार्क प्रसिद्ध खोजकर्ता थे।" या तो सूत्रीकरण को एल • सी के रूप में दर्शाया गया है।

जैसा कि सत्य तालिका द्वारा दिखाया गया है कि डॉट सिंबल को परिभाषित करते हुए, एक संयुग्मन सत्य है यदि और केवल इसके दोनों संयुग्म सत्य हैं। लेकिन "और" शब्द का एक और उपयोग है जिसमें यह केवल (सत्य-कार्यात्मक) संयोजन का संकेत नहीं देता है, लेकिन "और बाद में, " का अर्थ है अस्थायी उत्तराधिकार।

इस प्रकार "जोन्स ने न्यूयॉर्क में देश में प्रवेश किया और सीधे शिकागो गए" महत्वपूर्ण है और यह सच हो सकता है, जबकि "जोन्स सीधे शिकागो गए और न्यूयॉर्क में देश में प्रवेश किया" शायद ही समझदारी है।

और "उसने अपने जूते उतार लिए और बिस्तर में पड़ गए" और "बिस्तर पर चढ़ने और अपने जूते उतारने में बहुत अंतर है।" इस तरह के उदाहरणों पर विचार करना विशेष रूप से सत्य-कार्यात्मक संयोजन के साथ एक विशेष प्रतीक होने की वांछनीयता पर जोर देता है। उपयोग।

यह टिप्पणी की जानी चाहिए कि अंग्रेजी शब्द "लेकिन", "अभी तक", "भी", "अभी भी, " हालांकि, "हालांकि, " हालांकि, "इसके अलावा, " "फिर भी, " और इसी तरह, और यहां तक कि अल्पविराम और कॉम अर्धविराम, का उपयोग दो कथनों को एक एकल यौगिक कथन में संयोजित करने के लिए भी किया जा सकता है, और उनके अर्थ में, वे सभी डॉट प्रतीक द्वारा दर्शाए जा सकते हैं।

निषेध:

अंग्रेजी में एक बयान का निषेध (या विरोधाभासी या इनकार) अक्सर मूल कथन में "नहीं" के सम्मिलन से बनता है। वैकल्पिक रूप से, कोई व्यक्ति अंग्रेजी में एक कथन की अवहेलना कर सकता है, यह वाक्यांश "यह गलत है कि" या "यह ऐसा नहीं है" को उपसर्ग देकर, यह प्रतीक का उपयोग करने के लिए प्रथागत है (जिसे "कर्ल" कहा जाता है, या उससे कम) अक्सर, एक बयान को नकारने के लिए "टिल्ड")। इस प्रकार, जहाँ M कथन का प्रतीक है "सभी मनुष्य नश्वर हैं, " विभिन्न कथन

"सभी मनुष्य नश्वर नहीं हैं, " "कुछ मनुष्य नश्वर नहीं हैं, " "यह मिथ्या है कि सभी मनुष्य नश्वर हैं, " और "यह बात नहीं है कि सभी मनुष्य नश्वर हैं" सभी उदासीन रूप से ~ M के रूप में प्रतीक हैं। अधिक आम तौर पर, जहां पी कोई भी बयान होता है, उसका निषेध ~ p लिखा जाता है। यह स्पष्ट है कि कर्ल एक सत्य-कार्यात्मक ऑपरेटर है। किसी भी सच्चे कथन की उपेक्षा झूठी है, और किसी भी गलत कथन की उपेक्षा सत्य है। इस तथ्य को एक सत्य तालिका के माध्यम से बहुत सरल और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया जा सकता है:

इस सत्य तालिका को नकार प्रतीक की परिभाषा माना जा सकता है।

अलगाव:

दो कथनों का विघटन (या प्रत्यावर्तन) अंग्रेजी में उनके बीच "या" शब्द को जोड़कर बनता है। दो घटक विवरणों को संयुक्त रूप से "डिसजंक्शन" (या "विकल्प") कहा जाता है। अंग्रेजी, शब्द "या" अस्पष्ट है, जिसके दो संबंधित लेकिन अलग-अलग अर्थ हैं।

उनमें से एक कथन में उदाहरण दिया गया है "बीमारी या बेरोजगारी की स्थिति में प्रीमियम माफ किया जाएगा, " इस आशय के लिए जाहिर है कि प्रीमियम न केवल बीमार व्यक्तियों और बेरोजगार व्यक्तियों के लिए, बल्कि उन व्यक्तियों के लिए भी माफ किया जाता है, जो दोनों बीमार हैं और बेरोजगार।

"या" शब्द के इस अर्थ को "कमजोर" या "समावेशी" कहा जाता है। एक या एक दूसरे के मामले में एक समावेशी अस्वीकृति सत्य है या दोनों अव्यवस्थाएं सच हैं; केवल तभी यदि दोनों अव्यवस्थाएं झूठी हैं, तो उनका समावेशी विवाद झूठा है। समावेशी "या" का अर्थ है "या तो, संभवतः दोनों।"

शब्द "या" का उपयोग एक मजबूत या अनन्य अर्थ में भी किया जाता है, जिसमें अर्थ "कम से कम एक" नहीं है, लेकिन "कम से कम एक और सबसे अधिक एक है।" जहां एक रेस्तरां अपने खाने के मेनू पर "सलाद या मिठाई" सूचीबद्ध करता है।, इसका स्पष्ट अर्थ है कि, भोजन की कथित कीमत के लिए, भोजन करने वाले के पास एक या दूसरे हो सकते हैं, लेकिन दोनों नहीं।

हम एक बयान के रूप में दो कथनों के समावेशी विच्छेद की व्याख्या करते हैं, जिसमें से कम से कम एक कथन सत्य है, और हम उनके अनन्य विस्थापन को एक कथन के रूप में व्याख्या करते हैं कि कम से कम एक कथन सत्य है लेकिन दोनों सत्य नहीं हैं।

ध्यान दें कि दो प्रकार की अव्यवस्था में उनके अर्थ का एक हिस्सा आम है। यह आंशिक सामान्य अर्थ है, कि कम से कम एक असंगति सत्य है, समावेशी का पूरा अर्थ है "या" और विशेष का अर्थ "या" का एक हिस्सा है।

जहाँ p और q कोई भी दो कथन हैं, उनकी कमजोर या समावेशी अस्वीकृति qwritten p। Q है। समावेशी अव्यवस्था के लिए हमारा प्रतीक (जिसे "पच्चर" कहा जाता है या, कम बार, एक "vee") भी एक सत्य-कार्यात्मक संयोजी है। एक कमजोर स्थिति केवल तभी झूठी होती है, जब उसके दोनों खंड झूठे होते हैं। हम निम्न सत्य तालिका द्वारा परिभाषित के रूप में प्रतिज्ञा को मान सकते हैं:

इस खंड में प्रस्तुत पहला नमूना तर्क एक अपमानजनक सिल्लोगवाद था।

अंधे कैदी के पास लाल टोपी होती है या अंधे कैदी के पास सफेद टोपी होती है।

अंधे कैदी के पास लाल टोपी नहीं है।

इसलिए, अंधा कैदी एक सफेद टोपी है।

इसका रूप यह कहकर चित्रित किया जाता है कि इसका पहला प्रीमियर एक अव्यवस्था है; इसका दूसरा प्रीमियर पहले प्रीमियर के पहले डिसजंक्शन की उपेक्षा है; और इसका निष्कर्ष पहले प्रीमियर के दूसरे निर्णय के समान है। यह स्पष्ट है कि डिसिजिव सिलेओलिज़्म, इसलिए परिभाषित किया गया है, शब्द "या" की व्याख्या पर मान्य है या नहीं, भले ही एक समावेशी या अनन्य डिसंक्शन का उद्देश्य हो।

चूँकि प्रीमियर के लिए डिस्जंक्शन होने वाला विशिष्ट मान्य तर्क, "शब्द" या दोनों की व्याख्या पर मान्य डिसिजिव सिलेओलिज़्म की तरह है, एक सरलीकरण अंग्रेजी शब्द "या" हमारे तार्किक प्रतीक "" का अनुवाद करके प्रभावित हो सकता है। -इसके बावजूद कि अंग्रेजी शब्द का अर्थ "या" है।

जहाँ दोनों अव्यवस्थाओं में या तो एक ही विषय शब्द होता है 'या एक ही विधेय शब्द, अंग्रेजी में अपनी अव्यवस्था के सूत्रीकरण को संकुचित करना अक्सर स्वाभाविक होता है इसलिए "या" को दो डिस्जंक्शन के आम हिस्से को दोहराने की आवश्यकता नहीं होती है। ।

इस प्रकार "या तो स्मिथ मालिक है या स्मिथ प्रबंधक है" समान रूप से अच्छी तरह से कहा जा सकता है "स्मिथ या तो मालिक या प्रबंधक है, " और या तो ठीक से ओ वी एम के रूप में प्रतीक है और "या तो लाल दोषी है या बुच है दोषी ”को अक्सर“ या तो रेड या बुच दोषी माना जाता है ”, जिसे या तो आर R बी के प्रतीक के रूप में देखा जाता है।

शब्द "जब तक" का उपयोग अक्सर दो कथनों के विघटन के लिए किया जाता है। इस प्रकार, "जब तक आप अध्ययन नहीं करते तब तक आप परीक्षा में खराब प्रदर्शन करेंगे" को सही ढंग से P The S. के रूप में दर्शाया गया है। इसका कारण यह है कि हम "जब तक" का उपयोग यह करने के लिए करते हैं कि यदि एक प्रस्ताव सत्य नहीं है, तो दूसरा सत्य है या नहीं।

लेकिन शब्द "जब तक" कभी-कभी उससे अधिक जानकारी देने के लिए उपयोग किया जाता है; इसका अर्थ यह हो सकता है कि एक या दूसरा प्रस्ताव सत्य है लेकिन यह दोनों सत्य नहीं हैं। यही कारण है कि, "जब तक" एक विशेष छूट के रूप में इरादा नहीं किया जा सकता है।

इस प्रकार जेरेमी बेंथम ने लिखा, "जो राजनीतिक रूप से अच्छा है वह नैतिक रूप से बुरा नहीं हो सकता है, जब तक कि अंकगणित के नियम, जो कि बड़ी संख्या के लिए अच्छे हैं, एक छोटे के लिए बुरे हैं।" यहाँ लेखक का मतलब था कि कम से कम दो में से एक है। सच है, लेकिन उन्होंने स्पष्ट रूप से यह भी सुझाव दिया कि वे दोनों सच नहीं हो सकते।

विराम चिह्न:

यदि जटिल कथन स्पष्ट होने हैं, तो अंग्रेजी में विराम चिह्न की आवश्यकता है। एक महान कई अलग-अलग विराम चिह्नों का उपयोग किया जाता है, जिसके बिना कई वाक्य अत्यधिक अस्पष्ट होंगे। प्रतीकात्मक तर्क की भाषा में उन समान विराम चिह्नों- कोष्ठक, कोष्ठक, और ब्रेसिज़ - समान रूप से आवश्यक हैं, क्योंकि तर्क में यौगिक कथनों को अक्सर एक साथ अधिक जटिल लोगों में संयोजित किया जाता है।

इस प्रकार p • q is r अस्पष्ट है। इसका मतलब यह हो सकता है कि r के साथ q के विसंगति के साथ p का संयुग्मन हो सकता है, या इसका अर्थ हो सकता है disjunction जिसका पहला अव्यवस्था p और q का संयोजन है और जिसका दूसरा disjunct r है। हम दिए गए सूत्र को p • (q (r) के रूप में या (p • q)। R के रूप में निर्दिष्ट करके इन दो अलग-अलग इंद्रियों के बीच अंतर करते हैं।

मूल सूत्र को अलग करने के विभिन्न तरीकों से फर्क पड़ता है कि जिस स्थिति में पी गलत है और क्यू और आर दोनों सत्य हैं, इस पर विचार करके देखा जा सकता है। इस मामले में दूसरा पंक्चुअल फॉर्मूला सही है (क्योंकि इसका दूसरा डिस्जंक्शन सच है), जबकि पहला झूठा है (क्योंकि इसका पहला कंजंक्ट झूठा है)।

यहां विराम चिह्नों में अंतर सत्य और असत्य के बीच सभी अंतर को बनाता है, विभिन्न विराम चिह्नों के लिए अस्पष्ट p • q। R को विभिन्न सत्य मान प्रदान कर सकते हैं। एक अव्यवस्था की उपेक्षा अक्सर "न तो-और न ही" वाक्यांश के उपयोग से बनती है। इस प्रकार कथन "या तो शेक्सपियर या बर्नार्ड शॉ सबसे महान नाटककार थे" इस कथन का खंडन किया जा सकता है। "न तो शेक्सपियर और न ही बर्नार्ड शॉ सबसे महान नाटककार थे।" असंगति को एस वी बी के रूप में प्रतीकित किया जाएगा, और इसकी उपेक्षा या तो ~ (एस) बी) या के रूप में (~ एस) • (~ बी) की जाएगी।

हमारी प्रतीकात्मक भाषा के लिए विराम चिह्नों के एक सेट को देखते हुए, इसमें न केवल संयोजन, नकारात्मक और कमजोर विचलन को लिखना संभव है, बल्कि विशेष रूप से अव्यवस्था भी है। P और q का अनन्य विघटन इस बात की पुष्टि करता है कि उनमें से कम से कम एक सत्य है लेकिन दोनों सत्य नहीं हैं, जो कि काफी सरलता से (p written q) '~ (p • q) के रूप में लिखा गया है।

केवल सत्य-कार्यात्मक संयोजनों - डॉट, कर्ल, और पच्चर का उपयोग करके सरल कथनों से निर्मित कोई भी यौगिक कथन, इसके घटक सरल कथनों की सत्यता या असत्यता से पूरी तरह से निर्धारित होता है।

यदि हम सरल कथनों के सत्य मूल्यों को जानते हैं, तो उनमें से किसी भी सत्य-कार्यात्मक परिसर के सत्य मूल्य की आसानी से गणना की जाती है। उदाहरण के लिए, यदि A और B सत्य हैं और X और Y गलत कथन हैं, तो हम यौगिक कथन के सत्य मान की गणना करते हैं ~ [~ (A • X) • (Y B ~ B) निम्नानुसार हैं। चूँकि X गलत है, इसलिए संयोजन A • X गलत है, इसलिए इसका निषेध ~ (A • X) सत्य है। बी सच है; इसलिए इसका निषेध ~ B गलत है, और चूंकि Y भी गलत है, इसलिए ~ B, Y is ~ B के साथ Y का विघटन गलत है।

ब्रैकेटेड फॉर्मूला [~ (A • X) • (Y) ~ B)] एक गलत कथन के साथ एक सही का संयोजन है और इसलिए गलत है। अत: इसकी अवहेलना, जो संपूर्ण कथन है, सत्य है। इस तरह की एक चरणबद्ध प्रक्रिया हमेशा हमें अपने घटकों के सत्य मूल्यों से एक यौगिक कथन के सत्य मूल्य को निर्धारित करने में सक्षम बनाती है।

सशर्त विवरण और सामग्री कार्यान्वयन:

जहाँ दो कथनों को 'पहले' और उसके बाद 'शब्द' डालने से पहले जोड़ दिया जाता है, उनके बीच का जोड़, परिणामी यौगिक कथन एक सशर्त होता है (इसे 'काल्पनिक', 'निहितार्थ' या 'अर्थपूर्ण कथन' भी कहा जाता है) ।) एक सशर्त में, घटक कथन जो 'अगर' का अनुसरण करता है, उसे 'पूर्वगामी' कहा जाता है और 'तब' का अनुसरण करने वाला घटक कथन 'परिणामी' होता है।

उदाहरण के लिए, "यदि मिस्टर जोन्स बहादुर के अगले दरवाजे के पड़ोसी हैं, तो मिस्टर जोन्स ब्रिकमैन की तुलना में तीन गुना अधिक कमाते हैं" एक सशर्त बयान है जिसमें 'मिस्टर जोन्स बहादुर के अगले दरवाजे के पड़ोसी' हैं और 'मि। जोन्स ठीक उसी तरह से तीन गुना कमाते हैं, जितना कि ब्रैकमैन का परिणाम है।

अब हम इसे "यदि-तब" वाक्यांश के सामान्य आंशिक अर्थ का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक विशेष प्रतीक पेश करते हैं। हम ~ abbreviation (p • q) के संक्षिप्त नाम के रूप में p as q लेकर नए प्रतीक "z ﬤ" (जिसे "horseshoe" कहते हैं) को परिभाषित करते हैं। "3" प्रतीक का सटीक महत्व एक सत्य तालिका के माध्यम से इंगित किया जा सकता है:

यहां पहले दो कॉलम गाइड कॉलम हैं; वे बस पी और क्ष के लिए सत्य और असत्य के सभी संभावित संयोजनों को पूरा करते हैं। तीसरे कॉलम को दूसरे के संदर्भ में, चौथे को पहले और तीसरे के संदर्भ में, पांचवे को चौथे के संदर्भ में और छठे को परिभाषा के अनुसार पांचवें से भरा जाता है।

प्रतीक "ot" का अर्थ "अगर-तो, " या निहितार्थ के संबंध के लिए खड़े होने के अर्थ को निरूपित करना नहीं है। यह असंभव होगा, क्योंकि "अगर-तब" का कोई एक अर्थ नहीं है; इसके कई अर्थ हैं। लेकिन प्रतीक “z ﬤ” पूरी तरह से अस्पष्ट है। Pdq संक्षिप्त क्या है ~ (p • ~ q), जिसका अर्थ विभिन्न प्रकार के प्रत्येक निहितार्थों के अर्थों में शामिल है, लेकिन जो उनमें से किसी के पूरे अर्थ का गठन नहीं करता है।

हम प्रतीक "We" को एक अन्य प्रकार के निहितार्थ का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, और ऐसा करना समीचीन होगा, क्योंकि p is q को पढ़ने का एक सुविधाजनक तरीका "यदि p है तो q"। लेकिन यह एक ही तरह का निहितार्थ नहीं है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है। इसे तर्कवादियों द्वारा "भौतिक निहितार्थ" कहा जाता है, जो इसे एक विशेष नाम देते हुए स्वीकार करते हैं कि यह एक विशेष धारणा है, अन्य के साथ भ्रमित नहीं होना, अधिक सामान्य रूप से, निहितार्थ के प्रकार।

एंटीकेडेंट और परिणाम के बीच कोई "वास्तविक संबंध" एक सामग्री निहितार्थ द्वारा सुझाया गया है। सभी यह दावा करते हैं कि, तथ्य की बात के रूप में, यह मामला नहीं है कि पूर्ववर्ती गलत है जब परिणाम गलत है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सामग्री निहितार्थ प्रतीक एक सत्य-कार्यात्मक संयोजी है, जैसे कि संयोजन और अव्यवस्था के लिए प्रतीक। जैसे, यह सत्य तालिका द्वारा परिभाषित किया गया है।

जैसा कि सत्य तालिका द्वारा परिभाषित किया गया है, घोड़े की नाल के प्रतीक "truth" में कुछ विशेषताएं हैं जो पहले अजीब दिखाई दे सकती हैं। एक झूठे पुरावशेष का तात्पर्य यह है कि एक सच्चा परिणाम सत्य है; और यह दावा कि एक झूठे एंटीकेडेंट का तात्पर्य एक गलत परिणाम है, यह भी सच है।

सत्य कार्य और उनकी अंतर-परिभाषा स्टेटमेंट फॉर्म, सामग्री समतुल्यता और तार्किक समानता:

तर्क के तर्क के रूप के बीच एक सटीक समानांतर है, एक तरफ और बयान के बयान के संबंध दूसरी तरफ। "स्टेटमेंट फॉर्म" की परिभाषा इस बात को स्पष्ट करती है: एक स्टेटमेंट फॉर्म स्टेटमेंट वेरिएबल वाले प्रतीकों का कोई अनुक्रम होता है, लेकिन कोई स्टेटमेंट नहीं, जैसे कि स्टेटमेंट वेरिएबल्स के लिए स्टेटमेंट्स को प्रतिस्थापित किया जाता है - एक ही स्टेटमेंट को एक ही स्टेटमेंट वेरिएबल के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है — परिणाम एक बयान है।

इस प्रकार p areq एक स्टेटमेंट फॉर्म है, जब स्टेटमेंट्स वेरिएबल्स p और q के लिए प्रतिस्थापित किए जाते हैं, तो स्टेटमेंट परिणाम होता है। चूँकि परिणामी कथन एक अव्यवस्था है, pvq को एक "विवादास्पद कथन रूप" कहा जाता है। अनुरूप रूप से, p • q और p are q को "संयुग्मक" और "सशर्त कथन रूप" कहा जाता है, और ~ p को "निषेध रूप" या " इनकार का रूप। "

जिस प्रकार किसी निश्चित रूप के किसी तर्क को उस तर्क रूप का स्थानापन्न उदाहरण कहा जाता है, उसी प्रकार किसी निश्चित रूप के किसी कथन को उस कथन रूप का प्रतिस्थापन उदाहरण कहा जाता है। और जैसे हमने किसी दिए गए तर्क के विशिष्ट रूप को अलग किया है, इसलिए हम दिए गए कथन के विशिष्ट रूप को उस कथन के रूप में अलग करते हैं, जिससे वह कथन प्रत्येक भिन्न कथन चर के लिए एक अलग सरल कथन को प्रतिस्थापित करके परिणाम देता है। इस प्रकार pvq कथन का विशिष्ट रूप है "अंधे कैदी के पास लाल टोपी है या अंधे कैदी के पास सफेद टोपी है।"

Tautologous, विरोधाभासी और आकस्मिक बयान फार्म:

यह महसूस करना पूरी तरह से स्वाभाविक है कि, हालांकि "लिंकन की हत्या की गई" (एल के रूप में प्रतीक) और "या तो लिंकन की हत्या की गई थी या फिर उनकी हत्या नहीं की गई थी" (एल वी ~ एल के रूप में चिह्नित) दोनों सच हैं, वे सच हैं " विभिन्न तरीकों से "या" सत्य के "विभिन्न प्रकार" हैं। इसी तरह, यह महसूस करना पूरी तरह से स्वाभाविक है, हालांकि "वाशिंगटन की हत्या की गई" (डब्ल्यू के रूप में प्रतीक) और "वाशिंगटन दोनों की हत्या की गई थी और उनकी हत्या नहीं की गई थी" (डब्ल्यू • ~ डब्ल्यू के रूप में चिह्नित) दोनों झूठे हैं, वे झूठे हैं " अलग-अलग तरीके "या" झूठ के "विभिन्न प्रकार" हैं। इन "भावनाओं" के किसी भी प्रकार के मनोवैज्ञानिक विवरण देने का नाटक नहीं करते हुए, हम फिर भी कुछ तार्किक मतभेदों को इंगित कर सकते हैं, जिनके लिए वे संभवतः उपयुक्त हैं।

कथन L सत्य है और कथन W गलत है; ये ऐतिहासिक तथ्य हैं। उनके बारे में कोई तार्किक आवश्यकता नहीं है। घटनाएं अलग तरह से घटित हो सकती हैं, और एल और डब्ल्यू जैसे बयानों के सत्य मूल्यों को इतिहास के अनुभवजन्य अध्ययन द्वारा खोजा जाना चाहिए।

लेकिन यह कथन L v ~ L, यद्यपि सत्य है, इतिहास का सत्य नहीं है। यहाँ तार्किक आवश्यकता है: घटनाक्रम ऐसा नहीं हो सकता था जैसा कि इसे गलत बनाने के लिए किया गया था, और इसकी सच्चाई को किसी विशेष अनुभवजन्य जांच से स्वतंत्र रूप से जाना जा सकता है। एल वी ~ एल का कथन एक तार्किक सत्य है, एक औपचारिक सत्य है, केवल इसके रूप के गुण में सत्य है। यह उन सभी में से एक बयान का एक प्रतिस्थापन उदाहरण है जिनके प्रतिस्थापन उदाहरण सही कथन हैं।

उस कथन से केवल सही प्रतिस्थापन उदाहरणों को एक "tautologous statement form, " या "tautology" कहा जाता है। यह दिखाने के लिए कि pv ~ p से कथन tautology है; हम निम्नलिखित सत्य तालिका का निर्माण करते हैं:

इस सत्य तालिका में केवल एक प्रारंभिक या मार्गदर्शक कॉलम है, क्योंकि विचाराधीन फॉर्म में केवल एक कथन चर है। नतीजतन, केवल दो पंक्तियाँ हैं, जो सभी संभव प्रतिस्थापन उदाहरणों का प्रतिनिधित्व करती हैं।

विचाराधीन स्टेटमेंट फॉर्म के तहत कॉलम में केवल टी हैं, और यह तथ्य दर्शाता है कि इसके सभी प्रतिस्थापन उदाहरण सत्य हैं। कोई भी कथन जो एक टॉटोलॉगस स्टेटमेंट फॉर्म का एक प्रतिस्थापन उदाहरण है, अपने फॉर्म के गुण में सही है और खुद को टॉटोलोगस, या एक टेओटोलॉजी कहा जाता है।

उस बयान से केवल झूठे प्रतिस्थापन उदाहरणों को "आत्म-विरोधाभासी" या "विरोधाभास" कहा जाता है और तार्किक रूप से गलत है। P • ~ p का कथन आत्म-विरोधाभासी है, इसकी सत्य तालिका में केवल F के अंतर्गत इसके अंतर्गत है, यह दर्शाता है कि इसके सभी प्रतिस्थापन उदाहरण झूठे हैं। कोई भी कथन, जैसे W • ~ W, जो कि आत्म-विरोधाभासी कथन रूप का एक प्रतिस्थापन उदाहरण है, अपने रूप के गुण में गलत है और स्वयं को स्वयं विरोधाभासी या विरोधाभासी कहा जाता है।

ऐसे कथन रूप जिनमें उनके प्रतिस्थापन उदाहरणों के बीच सही और गलत दोनों कथन होते हैं, उन्हें "आकस्मिक कथन रूप" कहा जाता है, किसी भी कथन का जिसका विशिष्ट रूप आकस्मिक होता है, उसे "आकस्मिक कथन" कहा जाता है। इस प्रकार p, ~ p, p • q, pvq, और p। ﬤ q सभी आकस्मिक कथन रूप हैं। और ऐसे कथन जैसे L, ~ L, L • W, L, W और L And W आकस्मिक कथन हैं, क्योंकि उनके सत्य मूल्य केवल उनके रूपों पर नहीं बल्कि उनकी सामग्री पर निर्भर या आकस्मिक होते हैं।

सभी कथन फॉर्म इतने स्पष्ट नहीं हैं कि सरल उदाहरणों का हवाला देते हुए आत्म-विरोधाभासी या विरोधाभासी हैं। उदाहरण के लिए, स्टेटमेंट फॉर्म [(p, q) ﬤ p] is 3 p बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है, हालांकि इसकी सत्य तालिका इसे एक तनातनी के रूप में दिखाएगी। यहां तक कि इसका एक विशेष नाम भी है, "पीयरस लॉ।"

सामग्री समतुल्यता:

दो कथन "भौतिक रूप से समतुल्य, " या "सत्य मूल्य के समतुल्य" कहे जाते हैं, जब वे दोनों सत्य या असत्य दोनों होते हैं। यह धारणा प्रतीक "by" द्वारा व्यक्त की गई है। सामग्री तुल्यता एक सत्य कार्य है और इसे निम्न सत्य तालिका द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

जब भी दो कथन भौतिक रूप से समतुल्य होते हैं, वे भौतिक रूप से एक दूसरे को प्रभावित करते हैं। यह आसानी से एक सत्य तालिका द्वारा सत्यापित है। इसलिए प्रतीक "=" को "यदि और केवल यदि।" पढ़ा जा सकता है, तो प्रपत्र p = q के एक बयान को "द्वि-सशर्त" कहा जाता है, और प्रपत्र को "द्वि-सशर्त" भी कहा जाता है।

तार्किक समानता:

दो कथन तार्किक रूप से समतुल्य होते हैं जब (उनके) सामग्री समतुल्यता का कथन एक शब्दविज्ञान होता है। इस प्रकार, "दोहरा नकार का सिद्धांत, " को biconditional p ~ ~~ p के रूप में व्यक्त किया गया है, यह निम्न सत्य तालिका के आधार पर सिद्ध किया गया है:

जो ≡ ~ ~ p के तार्किक तुल्यता को सिद्ध करता है।

तार्किक तुल्यता और भौतिक तुल्यता के बीच अंतर बहुत महत्वपूर्ण है। दो कथन तार्किक रूप से केवल तभी समतुल्य होते हैं जब दो कथनों के लिए अलग-अलग सत्य मूल्यों का होना बिल्कुल असंभव हो।

इसलिए, तार्किक रूप से समतुल्य कथनों का एक ही अर्थ है और उस संदर्भ के सत्य मान को बदले बिना किसी भी सत्य-कार्यात्मक संदर्भ में एक दूसरे के लिए प्रतिस्थापित किया जा सकता है। लेकिन दो कथन भौतिक रूप से समतुल्य हैं (भले ही उनका एक दूसरे के साथ कोई तथ्यात्मक संबंध न हो) यदि वे केवल एक ही सत्य मूल्य के होते हैं। कथन, जो केवल भौतिक रूप से समतुल्य हैं, इसलिए, निश्चित रूप से एक दूसरे के लिए प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता है।

डी मॉर्गन के सिद्धांत:

कुछ आंतरिक रुचि और महत्व के दो तार्किक समतुल्य (यानी तार्किक रूप से सच द्वि-सशर्त) हैं, जो संयुग्मन, अव्यवस्था और नकार के बीच संबंधों को व्यक्त करते हैं। चूँकि अव्यवस्था केवल इस बात पर जोर देती है कि इसके दो में से कम से कम एक खंड सत्य है, इसलिए यह दावा नहीं किया जाता है कि कम से कम एक मिथ्या है, लेकिन केवल यह दावा करते हुए कि दोनों झूठे हैं। इस प्रकार अव्यवस्था pvq की उपेक्षा को तार्किक रूप से p और q के अवतरणों के संयोग को पूरा करने के बराबर है। प्रतीकों में, हमारे पास द्वि-सशर्त ~ (pvq) the (~ p • ~ q) है, जिसका तार्किक सत्य निम्नलिखित सत्य तालिका द्वारा स्थापित किया गया है:

इसी तरह, पी और क्यू के संयोजन को बताते हुए कि दोनों सत्य हैं, इस दावे के विपरीत, हमें केवल यह दावा करने की आवश्यकता है कि कम से कम एक गलत है। इस प्रकार संयुग्मन p की ऋणात्मकता को मानने के लिए • q तार्किक रूप से p और q के ऋणातों के विघटन को मानने के बराबर है। प्रतीकों में हमारे पास द्वि-सशर्त ~ (p • q) ~ (~ p have ~ q) होता है, जो आसानी से एक शब्दजाल सिद्ध होता है।

इन दो टोटोलोगस बायो-कंडीशंस को डी मॉर्गन के प्रमेयों के रूप में जाना जाता है, गणितज्ञ और तर्कशास्त्री ऑगस्टस डी मॉर्गन (1806-1871) द्वारा कहा गया है। डी मॉर्गन के प्रमेयों को अंग्रेजी में एक संयुक्त रूप दिया जा सकता है

दो कथनों के {Disjunction / conjunction} का निषेध तार्किक रूप से दो कथनों के {Conjunction / disjunction} नकारों के बराबर है।

सत्य सारणी:

एक तर्क रूप का परीक्षण करने के लिए, हम यह देखने के लिए सभी संभावित प्रतिस्थापन उदाहरणों की जांच करते हैं कि क्या उनमें से किसी एक का असली आधार और एक गलत निष्कर्ष है। बेशक किसी भी तर्क रूप में कई प्रतिस्थापन उदाहरण हैं, लेकिन हमें एक बार में उनकी जांच करने के बारे में चिंता करने की आवश्यकता नहीं है। क्योंकि हम केवल उनके सिद्धांतों और निष्कर्षों की सच्चाई या झूठ में रुचि रखते हैं, हमें केवल शामिल सत्य मूल्यों पर विचार करने की आवश्यकता है।

हमारे यहाँ चिंता करने वाले तर्कों में केवल सरल कथन और यौगिक कथन होते हैं, जो डॉट, कर्ल, वेज और हॉर्सशो के प्रतीक सत्य-कार्यात्मक संयोजनों के माध्यम से सरल बयानों से निर्मित होते हैं।

इसलिए हम उन सभी संभावित प्रतिस्थापन उदाहरणों को प्राप्त करते हैं जिनके प्रीमियर और निष्कर्षों में बयान के लिए सत्य मूल्यों की सभी संभव अलग-अलग व्यवस्थाओं की जांच करके अलग-अलग सत्य मान हैं, जिन्हें प्रतिस्थापित किया जा सकता है- तर्क के रूप में परीक्षण किए जाने वाले विभिन्न विवरण चर के लिए।

जहाँ एक तर्क रूप में सिर्फ दो अलग-अलग कथन चर, p और q होते हैं, उसके सभी प्रतिस्थापन उदाहरण p या q दोनों के लिए सही कथन को प्रतिस्थापित करने का परिणाम हैं, या p के लिए एक सत्य कथन और q के लिए एक सही कथन, या गलत है। p के लिए एक और q, या p और q दोनों के लिए गलत कथन के लिए एक सही एक। इन विभिन्न मामलों को एक सच्चाई तालिका के रूप में सबसे आसानी से इकट्ठा किया जाता है। तर्क प्रपत्र की वैधता तय करने के लिए

इस तालिका की प्रत्येक पंक्ति प्रतिस्थापन उदाहरणों की एक पूरी कक्षा का प्रतिनिधित्व करती है। दो प्रारंभिक या गाइड कॉलम में टी और एफ के तर्क रूप में चर p और q के लिए प्रतिस्थापित किए गए कथनों के सत्य मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। हम प्रारंभिक या गाइड कॉलम और घोड़े की नाल प्रतीक की परिभाषा का संदर्भ देकर तीसरे कॉलम को भरते हैं।

तीसरा कॉलम हेडिंग तर्क फॉर्म का पहला "प्रीमियर" है, दूसरा कॉलम दूसरा "प्रीमियर" है, और पहला कॉलम "निष्कर्ष" है। इस सत्य तालिका की जांच करने पर, हम पाते हैं कि तीसरी पंक्ति में हैं। निष्कर्ष के तहत दोनों प्रीमियर और एक एफ के तहत, जो इंगित करता है कि इस तर्क के कम से कम एक प्रतिस्थापन उदाहरण है जिसमें सच्चे प्रीमियर और एक गलत निष्कर्ष है।

यह पंक्ति यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि तर्क फ़ॉर्म अमान्य है। इस विशिष्ट रूप का कोई भी तर्क (अर्थात, किसी भी तर्क का विशिष्ट तर्क रूप, जिसे दिया गया तर्क रूप है) को परिणामी की पुष्टि की प्रतिबद्धता के लिए प्रतिबद्ध किया जाता है, क्योंकि इसका दूसरा आधार इसके सशर्त प्रथम प्रीमियर के परिणाम की पुष्टि करता है।

कुछ सामान्य मान्य तर्क फॉर्म:

निस्संक्रामक सिलोजिज्म:

यह सबसे सरल वैध तर्क रूपों में से एक है, जो इस तथ्य पर निर्भर करता है कि, प्रत्येक सच्चे डिसंक्शन में, कम से कम डिस्जंक्शन में से एक सही होना चाहिए। इसलिए, यदि उनमें से एक झूठा है, तो दूसरा सच होना चाहिए। हम इस प्रकार के रूप में अप्रभावी Syllogism का प्रतीक हैं:

यहाँ, आरंभिक या मार्गदर्शक कॉलम, बयानों के सभी संभावित विभिन्न सत्य मूल्यों को प्रदर्शित करते हैं, जिन्हें चर p और q के लिए प्रतिस्थापित किया जा सकता है। हम तीसरे कॉलम को पहले दो और चौथे को पहले अकेले के संदर्भ में भरते हैं।

अब तीसरी पंक्ति एकमात्र ऐसी है जिसमें दोनों प्रीमियर (तीसरे और चौथे कॉलम) के तहत टी दिखाई देता है, और वहाँ एक टी निष्कर्ष के तहत भी दिखाई देता है (दूसरा कॉलम)। सत्य तालिका इस प्रकार दिखाती है कि तर्क रूप का कोई विकल्प नहीं है, जिसमें सच्चे आधार और गलत निष्कर्ष हैं और जिससे तर्क की वैधता का परीक्षण किया जाता है।

एक वैध, सरल तर्क और निष्कर्ष के नियम के रूप:

एक सशर्त विवरण को शामिल करने वाले सबसे सहज प्रकार के वैध तर्क को तर्क द्वारा चित्रित किया गया है:

अगर सूरज है, तो रोशनी है।

सूरज है।

प्रकाश है।

इस तर्क का विशिष्ट रूप, जिसे मॉडस पोनेंस के रूप में जाना जाता है, है

यहाँ दो प्रीमियर को तीसरे और पहले कॉलम द्वारा दर्शाया गया है, और निष्कर्ष को दूसरे द्वारा दर्शाया गया है। केवल पहली पंक्ति प्रतिस्थापन उदाहरणों का प्रतिनिधित्व करती है जिसमें दोनों प्रीमियर सत्य हैं, और दूसरे कॉलम में टी से पता चलता है कि इन तर्कों में निष्कर्ष भी सत्य है। यह सत्य तालिका फार्म मोडस पोनेंस के किसी भी तर्क की वैधता को स्थापित करती है।

मोडस टोलेंस:

हमने देखा है कि यदि एक सशर्त कथन सही है, तो यदि परिणाम गलत है तो पूर्ववर्ती कथन गलत होना चाहिए। संदेह में किसी प्रस्ताव के झूठ को स्थापित करने के लिए तर्क के इस रूप का आमतौर पर उपयोग किया जाता है। एक दुर्घटना के मौके पर, पुलिस इस कारण हो सकती है:

अगर सूरज है, तो रोशनी है।

प्रकाश नहीं है।

कोई सूरज नहीं है।

इस तर्क का प्रतीक होगा:

इस तर्क रूप की वैधता, जिसे मॉडस टोलेंस कहा जाता है, को निम्न सत्य तालिका द्वारा दिखाया जा सकता है

यहाँ फिर से कोई प्रतिस्थापन उदाहरण नहीं है, कोई रेखा नहीं है, जिस पर प्रीमियर, p is q और ~ q, दोनों सत्य हैं और निष्कर्ष, ~ p, गलत है।

हाइपोथेटिकल साइलोगिज़्म:

एक अन्य सामान्य प्रकार के सहज ज्ञान युक्त तर्क में केवल सशर्त कथन होते हैं। यहाँ एक उदाहरण है:

यदि मनुष्य ईमानदारी से काम करे, तो वह सफल होता है।

यदि मनुष्य सफल है, तो उसे खुशी मिलती है।

अगर आदमी ईमानदारी से काम करे, तो उसे खुशी मिलती है।

इस तर्क का विशिष्ट रूप है

इस तर्क के बाद से, जिसे "हाइपोथेटिकल सियालॉजिज्म" कहा जाता है, में तीन अलग-अलग स्टेटमेंट चर होते हैं, यहाँ की सत्य तालिका में तीन प्रारंभिक या गाइड कॉलम होने चाहिए और संभावित प्रतिस्थापन उदाहरणों की सूची के लिए आठ पंक्तियों की आवश्यकता होगी। प्रारंभिक कॉलम के अलावा, तीन अतिरिक्त कॉलम आवश्यक हैं: दो प्रीमियर के लिए, तीसरे निष्कर्ष के लिए। तालिका के रूप में प्रकट होता है

इसके निर्माण में, हम पहले और दूसरे के लिए, पांचवें से दूसरे और तीसरे के संदर्भ में, और छठे से पहले और तीसरे के संदर्भ में संदर्भित करके चौथे कॉलम को भरते हैं। Examining the completed table, we observe that the premisses are true only in the first, fifth, seventh, and eighth rows and that in all of these the conclusion is true also. This truth table establishes the validity of the argument form and proves that the Hypothetical Syllogism also remains valid when its conditional statements are translated by means of the horseshoe symbol.

Formal Proof of Validity:

In theory, truth tables are adequate to test the validity of any argument of the general type here considered. But in practice they grow unwieldy as the number of component statements increases. A more efficient method of establishing the validity of an extended argument is to deduce its conclusion from its premisses by a sequence of elementary arguments each of which is known to be valid. This technique accords fairly well with ordinary methods of argumentation.

Consider, for example, the following argument:

If Sapna was nominated, then she went to Delhi.

If she went to Delhi, then she campaigned there.

If she campaigned there, she met Harish.

Sapna did not meet Harish.

Either Sapna was nominated or someone more eligible was selected.

Therefore someone more eligible was selected.

Its validity may be intuitively obvious, but let us consider the matter of proof. The discussion will be facilitated by translating the argument into our symbolism as

To establish the validity of this argument by means of a truth table would require one with thirty-two rows, since there are five different simple statements involved. But we can prove the given argument valid by deducing its conclusion from its premisses by a sequence of just four elementary valid arguments.

From the first two premisses A ﬤ B and BﬤC we validly infer A ﬤ C by a hypothetical syllogism. From A ﬤC and the third premiss C ﬤ D we validly infer A ﬤ D by another hypothetical syllogism. From A ﬤD and the fourth premiss ~D we validly infer ~A by modus tollens. And from ~A and the fifth premiss A ᵛ E, by a disjunctive syllogism we validly infer E, the conclusion of the original argument.

That the conclusion can be deduced from the five premisses of the original argument by four elementary valid arguments proves the original argument to be valid. Here the elementary valid argument forms hypothetical syllogism (HS), modus tollens (MT), and disjunctive syllogism (DS) are used as rules of inference in accordance with which conclusions are validly inferred or deduced from premisses.

A more formal proof of validity is given by writing the premisses and the statements that we deduce from them in a single column; and setting off in another column, to the right of each such statement, its “justification, ” or the reason we can give for including it in the proof.

It is convenient to list all the premisses first and to write the conclusion slightly to one side, separated by a diagonal line from the premisses. The diagonal line automatically labels all statements above it as premisses. If all the statements in the column are numbered, the “justification” for each statement consists of the numbers of the preceding statements from which it is inferred, together with the abbreviation for the rule of inference by which it follows from them. The formal proof of the argument above is written as:

We define a formal proof that a given argument is valid to be a sequence of statements each of which is either a premiss of that argument or follows from preceding statements of the sequence by an elementary valid argument, such that the last statement in the sequence is the conclusion of the argument whose validity is being proved.

We define an elementary valid argument to be any argument that is a substitution instance of an elementary valid argument form. One matter to be emphasized is that any substitution instance of an elementary valid argument form is an elementary valid argument. Thus the argument

is an elementary valid argument because it is a substitution instance of the elementary valid argument form modus ponens (MP). It results from

by substituting A • B for p and C ≡ (D v E) for q and is therefore of that form even though modus ponens is not the specific form of the given argument.

Modus ponens is a very elementary valid argument form indeed, but what other valid argument forms are to be included as rules of inference? We begin with a list of just nine rules of inference to be used in constructing formal proofs of validity:

Rules of Inference:

1. Modus Ponens (MP)

pﬤq

पी