फैलाव के उपाय

इस लेख को पढ़ने के बाद आप सामाजिक अनुसंधान में उपयोग किए जाने वाले फैलाव के विभिन्न उपायों के बारे में जानेंगे।

सामाजिक अनुसंधान में, हम अक्सर एक दिए गए विशेषता के संबंध में उत्तरदाताओं के बीच समरूपता और विषमता की सीमा जानना चाहते हैं। सामाजिक डेटा के किसी भी सेट में मूल्य हैं जो विषमता की विशेषता हो सकते हैं। सामाजिक डेटा के सेट को आमतौर पर मूल्यों की विविधता की विशेषता है।

वास्तव में, वे जिस हद तक विषम हैं या आपस में भिन्न हैं, वह सांख्यिकी में बुनियादी महत्व का है। केंद्रीय प्रवृत्ति के उपाय आमतौर पर डेटा के एक सेट की एक महत्वपूर्ण विशेषता का वर्णन करते हैं लेकिन वे हमें इस अन्य बुनियादी विशेषता के बारे में कुछ भी नहीं बताते हैं।

नतीजतन, हमें विषमता को मापने के तरीकों की आवश्यकता है - डेटा किस हद तक बिखरे हुए हैं। इस विवरण को प्रदान करने वाले उपायों को फैलाव या परिवर्तनशीलता के उपाय कहा जाता है। चित्र 18 में दिखाए गए निम्नलिखित तीन वितरण सांख्यिकीय आंकड़ों के फैलाव को मापने के महत्व को चित्रित करेंगे।

विभिन्न आकारों के नमूने के लिए औसत मूल्यों का वितरण :

यह देखा जा सकता है कि उपरोक्त आकृति में तीनों वक्रों का अंकगणित माध्य समान है, लेकिन वक्र A द्वारा दर्शाए गए मानों का वितरण वक्र B द्वारा दर्शाए गए की तुलना में कम परिवर्तनशीलता (फैलाव) दिखाता है, जबकि वक्र B कम परिवर्तनशीलता है। इसकी तुलना में कर्व C द्वारा दिखाया गया है।

यदि हम केवल वितरण की केंद्रीय प्रवृत्ति को मापते हैं, तो हम तीन वक्रों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर को याद करेंगे। डेटा के पैटर्न की बेहतर समझ पाने के लिए, हमें इसके फैलाव या परिवर्तनशीलता का माप भी प्राप्त करना होगा, अब हम फैलाव के विभिन्न उपायों पर विचार करते हैं।

रेंज:

सीमा को उच्चतम और निम्नतम मानों के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है: गणितीय रूप से,

आर (रेंज) = एम _एन - एम _एल

जहां M _n और M _l उच्चतम और निम्नतम मूल्य के लिए खड़े हैं। इस प्रकार, डेटा सेट के लिए: 10, 22, 20, 14 और 14 की सीमा 22 और 10 के बीच का अंतर होगा, अर्थात, 12. समूहीकृत डेटा के मामले में, हम सीमा को चरम के मध्य बिंदुओं के बीच के अंतर के रूप में लेते हैं। कक्षाएं। इस प्रकार, यदि सबसे कम अंतराल का मध्य बिंदु 150 है और उच्चतम 850 है, तो सीमा 700 होगी।

सीमा का एकमात्र लाभ, जो फैलाव को मापता है, शायद ही कभी उपयोग किया जाता है, यह आसानी से गणना और आसानी से समझा जा सकता है। इस लाभ के बावजूद, यह आम तौर पर फैलाव का एक बहुत उपयोगी उपाय नहीं है; इसका मुख्य दोष यह है कि यह हमें उन मूल्यों के फैलाव के बारे में कुछ नहीं बताता है जो दो चरम सीमाओं के बीच मध्यवर्ती हैं।

अर्ध-वर्ण-चतुर्थक सीमा या चतुर्थक विचलन:

फैलाव का एक और उपाय अर्ध-अंतर-चतुर्थक सीमा है, जिसे आमतौर पर क्वार्टाइल विचलन के रूप में जाना जाता है। चतुर्थक वे बिंदु हैं जो सरणी के मान या श्रृंखला को चार समान भागों में विभाजित करते हैं जिनमें से प्रत्येक में वितरण में 25 प्रतिशत आइटम शामिल हैं। चतुर्थक तो इन चार भागों में से प्रत्येक में उच्चतम मूल्य हैं। अंतर-चतुर्थक श्रेणी पहले और तीसरे चतुर्थक के मूल्यों के बीच का अंतर है।

इस प्रकार, जहां और क्यू ₁ और क्यू ₃ पहले और तीसरे चतुर्थक के लिए खड़े होते हैं, अर्ध-अंतर-चतुर्थक सीमा या चतुर्थक विचलन सूत्र ₌ Q ₃ –Q 1/2 द्वारा दिया जाता है

चतुर्थक विचलन की गणना:

चतुर्थक विचलन फैलाव का एक पूर्ण माप है। यदि चतुर्थक विचलन का उपयोग श्रृंखला के फैलाव की तुलना के लिए किया जाना है, तो निरपेक्ष माप को चतुर्थक विचलन के गुणांक में बदलना आवश्यक है।

मीन विचलन :

रेंज और चतुर्थक विचलन गंभीर कमियां हैं, अर्थात, उन्हें एक श्रृंखला के केवल दो मूल्यों को ध्यान में रखकर गणना की जाती है। इस प्रकार, फैलाव के ये दो उपाय श्रृंखला की सभी टिप्पणियों पर आधारित नहीं हैं। परिणामस्वरूप, श्रृंखला की संरचना को पूरी तरह से अनदेखा कर दिया जाता है। इस दोष से बचने के लिए, केंद्रीय मूल्य के संबंध में श्रृंखला की सभी टिप्पणियों को ध्यान में रखते हुए फैलाव की गणना की जा सकती है।

फैलाव की गणना करने की विधि को औसत विचलन (मतलब विचलन) की विधि कहा जाता है। जैसा कि नाम से स्पष्ट है, यह केंद्रीय प्रवृत्ति की माप से विभिन्न वस्तुओं के विचलन का अंकगणितीय औसत है।

जैसा कि हम अच्छी तरह से जानते हैं, एक केंद्रीय मूल्य से विचलन का योग हमेशा शून्य होगा। इससे पता चलता है कि एक मतलब विचलन प्राप्त करने के लिए (मतलब या केंद्रीय मूल्यों में से किसी एक के बारे में), हमें किसी भी तरह या किसी भी नकारात्मक संकेतों से छुटकारा पाना चाहिए। यह संकेतों की अनदेखी और मतभेदों के निरपेक्ष मूल्य लेने के द्वारा किया जाता है।

हमारे काल्पनिक उदाहरण में, संख्या १२, १४, १५, १६ और १ example का मतलब १५ है। इसका तात्पर्य यह है कि इनमें से प्रत्येक संख्या से १५ का अंतर, सभी संकेतों को अनदेखा करना और फिर परिणाम जोड़ना, हमें कुल मिलेगा विचलन।

इसे 5 से विभाजित करके, हम प्राप्त करते हैं:

= 1.6 (जहाँ | d | निरपेक्ष विचलन के योग के लिए खड़ा है)।

इसलिए हम कह सकते हैं कि औसतन औसत 1.6 से भिन्न होता है।

अनियंत्रित तिथि (व्यक्तिगत अवलोकन) में औसत विचलन की गणना:

निरंतर श्रृंखला में औसत विचलन की गणना:

मीन विचलन का गुणांक :

श्रृंखला के औसत विचलन की तुलना करने के लिए औसत विचलन या सापेक्ष माध्य विचलन के गुणांक की गणना की जाती है। यह केंद्रीय प्रवृत्ति के उस माप से औसत विचलन को विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, जहां से विचलन की गणना की गई थी। इस प्रकार,

मीन का गुणांक। विचलन / एक्स

इस सूत्र को पिछले उदाहरण पर लागू करते हुए, हमारे पास,

मीन विचलन का गुणांक = 148/400 = 0.37

मानक विचलन :

फैलाव का सबसे उपयोगी और अक्सर उपयोग किया जाने वाला माप मानक विचलन या जड़-माध्य वर्ग विचलन है जो माध्य के बारे में है। मानक विचलन को माध्य के वर्ग विचलन के अंकगणितीय माध्य के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है। प्रतीकात्मक,

√Σ = σd ² / एन

जहां standard (ग्रीक अक्षर सिग्मा) मानक विचलन के लिए खड़ा है, माध्य से वर्ग विचलन के योग के लिए thed ² और वस्तुओं की संख्या के लिए एन।

व्यक्तिगत टिप्पणियों की श्रृंखला में मानक विचलन की गणना:

शॉर्ट-कट विधि:

असतत श्रृंखला में मानक विचलन की गणना :

एक असतत श्रृंखला में एक अनुमानित माध्य से विचलन को पहले वस्तुओं की संबंधित आवृत्तियों द्वारा गणना और गुणा किया जाता है। विचलन वस्तुओं के संबंधित आवृत्तियों द्वारा चुकता और गुणा किया जाता है। इन उत्पादों को कुल आवृत्तियों द्वारा विभाजित और विभाजित किया जाता है। मानक विचलन की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:

निम्नलिखित दृष्टांत सूत्र की व्याख्या करेगा:

एक सतत श्रृंखला में मानक विचलन की गणना :

एक निरंतर श्रृंखला में वर्ग अंतराल को उनके मध्य-बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। हालांकि, आमतौर पर वर्ग-अंतराल समान आकार के होते हैं और इस प्रकार, ग्रहण किए गए औसत से विचलन वर्ग अंतराल इकाइयों में व्यक्त किए जाते हैं। वैकल्पिक रूप से, चरण विचलन वर्ग अंतराल के परिमाण द्वारा विचलन को विभाजित करके पहुंचे हैं।

इस प्रकार, मानक विचलन की गणना के लिए सूत्र निम्नानुसार है:

जहां मैं सामान्य कारक या वर्ग-अंतराल के परिमाण के लिए खड़ा हूं।

निम्न उदाहरण इस सूत्र का वर्णन करेगा:

गुणांक का परिवर्तन:

मानक विचलन निरपेक्ष फैलाव के माप का प्रतिनिधित्व करता है। दो या अधिक वितरणों के सापेक्ष फैलाव को मापना भी आवश्यक है। जब मानक विचलन इसके माध्य से संबंधित होता है, तो यह सापेक्ष फैलाव को मापता है। कार्ल पियर्सन ने सापेक्ष फैलाव का एक सरल उपाय काम किया है जिसे आम तौर पर भिन्नता के गुणांक के रूप में जाना जाता है।