यूलर प्रमेय और उत्पाद थकावट की समस्या

यूलर प्रमेय और उत्पाद थकावट की समस्या!

जैसे ही यह प्रतिपादित किया गया कि उत्पादन के कारकों को उनके सीमांत उत्पादों के बराबर भुगतान किया जाता है, एक कठिन समस्या खड़ी हो जाती है जिस पर प्रसिद्ध अर्थशास्त्रियों के बीच गंभीर बहस छिड़ गई है। जो कठिन समस्या सामने आई है, वह यह है कि अगर सभी कारकों को उनके सीमांत उत्पादों के बराबर पुरस्कार दिया जाता है, तो क्या कुल उत्पाद केवल समाप्त हो जाएगा?

दूसरे शब्दों में, यदि प्रत्येक कारक को अपने सीमांत उत्पाद के बराबर पुरस्कृत किया जाता है, तो कुल उत्पाद को बिना किसी अधिशेष या घाटे के निपटान किया जाना चाहिए। यह साबित करने की समस्या कि कुल उत्पादन बस समाप्त हो जाएगा यदि सभी कारकों को उनके सीमांत उत्पादों के बराबर पुरस्कार दिए जाते हैं, तो उन्हें "अतिरिक्त समस्या" या उत्पाद थकावट समस्या कहा जाता है।

उत्पाद की थकावट की समस्या के दो समाधान सामने रखे गए हैं। सबसे पहले, PH विकस्टेड द्वारा महत्वपूर्ण समाधान सामने रखा गया, जिसने उत्पादन में पैमाने पर निरंतर रिटर्न के संचालन (यानी, पहली डिग्री के समरूप उत्पादन समारोह) को माना और उत्पाद थकावट की समस्या को साबित करने के लिए यूलर सिद्धांत को लागू किया।

दूसरा महत्वपूर्ण समाधान जेआर हिक्स और आरए द्वारा प्रदान किया गया है। सैमुल्सन जिन्होंने उत्पाद की थकावट समस्या को साबित करने के लिए उत्पाद और कारक कीमतों के निर्धारण की सही प्रतिस्पर्धा मॉडल का इस्तेमाल किया। हम उत्पाद थकावट समस्या के इन समाधानों के नीचे चर्चा करते हैं।

Euler प्रमेय के साथ उत्पाद थकावट की समस्या का Wicksteed समाधान:

फिलिप विकस्टेड उन पहले अर्थशास्त्रियों में से एक थे जिन्होंने इस समस्या को हल किया और इसके लिए एक समाधान प्रदान किया। विकस्टेड ने एक गणितीय प्रस्ताव लागू किया, जिसे यूलर के प्रमेय कहा जाता है, यह साबित करने के लिए कि कुल उत्पाद केवल समाप्त हो जाएगा यदि सभी कारकों को उनके सीमांत उत्पादों के बराबर भुगतान किया जाता है।

चलो क्यू उत्पाद के कुल उत्पादन के लिए खड़ा है, कारक श्रम के लिए एक खड़ा है और बी कारक पूंजी के लिए खड़ा है और सी जमीन के लिए खड़ा है। यह मानते हुए कि उत्पादन के लिए केवल तीन कारक कार्यरत हैं। फिर, जोड़ने की समस्या का अर्थ है कि,

Q = MP _a xa + MP _a x b + MP _c xc

अर्थात्, कारक की सीमान्त गुणक गुणनखण्ड गुणक के गुणनफल से अधिक होती है, गुणन ख की मात्रा से गुणक गुणक गुणनखण्ड ख की मात्रा से गुणक गुणक गुणनखण्ड के गुणनफल के गुणनफल के कुल उत्पाद के बराबर होता है। दृढ़। विभिन्न कारकों के सीमांत उत्पादों को आंशिक व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार, श्रम के सीमांत उत्पाद (अर्थात कारक) को /W / ∂a के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और पूंजी के सीमांत उत्पाद (कारक b) को /W /, b के रूप में और भूमि के सीमांत उत्पाद (कारक c) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ∂W /, c, फिर जोड़ने की समस्या (यानी उत्पाद थकावट की समस्या) को पूरा करने के लिए, निम्नलिखित समीकरण अच्छा रहेगा:

अब, यूलर के प्रमेय में कहा गया है कि यदि उत्पादन कार्य पहली डिग्री का एक समरूप कार्य है, अर्थात, यदि Q = f (a, b, c) में से किसी भी वृद्धि के लिए चर a, b और c द्वारा राशि n, आउटपुट क्यू भी n से बढ़ता है, फिर क्यू क्रमशः उत्पादन कारकों के आंशिक व्युत्पन्न के कुल योग के बराबर होगा, क्रमशः कारकों की मात्रा से गुणा किए गए विभिन्न कारकों के संबंध में।

पहली डिग्री या रैखिक सजातीय फ़ंक्शन का सजातीय कार्य निम्न रूप में लिखा गया है:

nQ = f (na, nb, nc)

अब, इस रैखिक सजातीय समारोह के लिए, यूलर प्रमेय के अनुसार:

इस प्रकार, यदि उत्पादन कार्य पहली डिग्री का सजातीय है, तो यूलर के प्रमेय के अनुसार कुल उत्पाद है:

जहां Q कुल उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है और ∂W /, a, /W / ∂b, ∂W / ofc उत्पादन समारोह के आंशिक व्युत्पन्न हैं और इसलिए क्रमशः श्रम, पूंजी और भूमि के सीमांत उत्पादों का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह इस प्रकार है कि यदि उत्पादन कार्य पहली डिग्री के समरूप है (यानी, जहां लगातार रिटर्न पैमाने पर हैं), तो, यूलर के प्रमेय के अनुसार, यदि विभिन्न कारकों ए, बी और सी को उनके सीमांत उत्पादों के बराबर पुरस्कार दिया जाता है। कुल उत्पाद केवल समाप्त हो जाएगा, जिसमें कोई अधिशेष या घाटा नहीं होगा।

हम इस प्रकार देखते हैं कि उत्पादन की प्रक्रिया पहली डिग्री के समरूप होने पर यूलर की प्रमेय उत्पाद की थकावट की व्याख्या करने में सक्षम है। इस तरह, विकस्टीड ने स्केल के निरंतर रिटर्न और आयलर के प्रमेय को लागू करने पर विचार करते हुए, जोड़-तोड़ की समस्या को साबित कर दिया, अर्थात यह प्रदर्शित किया कि यदि सभी कारकों को उनके सीमांत उत्पादों के बराबर भुगतान किया जाता है, तो कुल उत्पाद बिल्कुल समाप्त हो जाएगा।

आयलर के प्रमेय और विकस्टीड के समाधान का एक समालोचक:

विकस्टेड के समाधान को वालरस, बैरोन, एजगवर्थ और पारेतो ने समेट दिया था। इन लेखकों द्वारा यह दावा किया गया था कि उत्पादन कार्य पहली डिग्री के सजातीय नहीं थे, अर्थात; पैमाने पर रिटर्न वास्तविक दुनिया में स्थिर नहीं हैं। इस प्रकार एडगेवोरथ ने व्यिकस्टेड के समाधान पर व्यंग्य करते हुए कहा, "इस सामान्यीकरण में वैभव है जो दर्शन के युवाओं को याद करता है। न्याय एक आदर्श घन है, प्राचीन ऋषि ने कहा; और तर्कसंगत आचरण एक सजातीय कार्य है, आधुनिक बचतकर्ता को जोड़ता है ”।

आलोचकों ने कहा कि उत्पादन समारोह ऐसा है कि यह एक यू-आकार के लंबे समय तक चलने वाले औसत लागत वक्र की पैदावार करता है। लंबे समय तक चलने वाले औसत लागत वक्र का यू-आकार तात्पर्य है कि बड़े पैमाने पर रिटर्न में वृद्धि होती है और इसके बाद पैमाने पर कम रिटर्न प्राप्त होता है।

यदि कोई फर्म अभी भी रिटर्न बढ़ाने के पैमाने पर काम कर रही है, तो यदि सभी कारकों को उनके सीमांत उत्पादों के बराबर भुगतान किया जाता है, तो कुल कारक पुरस्कार कुल उत्पाद से अधिक हो जाएंगे। दूसरी ओर, यदि कोई फर्म घटते हुए रिटर्न के पैमाने पर काम कर रही है, और अगर सभी कारकों को उनके सीमांत उत्पादों के बराबर भुगतान किया जाता है, तो कुल कारक पुरस्कार कुल उत्पाद को पूरी तरह से समाप्त नहीं करेंगे और इसलिए एक अधिशेष छोड़ देंगे। यह निम्नानुसार है कि यूलर के प्रमेय लागू नहीं होते हैं और इसलिए जोड़-तोड़ समस्या तब अच्छी नहीं होती है जब या तो पैमाने पर रिटर्न बढ़ रहा है या रिटर्न कम हो रहा है।

विकस्टेड के समाधान में एक और कमी यह है कि जब पैमाने पर लगातार रिटर्न होता है, तो फर्म की लंबी-औसत औसत लागत वक्र एक क्षैतिज सीधी रेखा होती है जो पूर्ण प्रतिस्पर्धा के साथ असंगत होती है। (क्षैतिज लंबे समय तक चलने वाली औसत लागत वक्र के तहत, फर्म में एक निर्धारित संतुलन स्थिति नहीं हो सकती है)। लेकिन सीमांत उत्पादकता सिद्धांत और इसलिए विकीस्टेड के समाधान के लिए सही प्रतिस्पर्धा आवश्यक थी। इस प्रकार विकस्टेड समाधान हमें दो विरोधाभासी चीजों की ओर ले जाता है।

Wicksell, Walras और Barone के उत्पादन निकास समस्या का समाधान:

Wicksteed, Wicksell, Walras और Barone के बाद, प्रत्येक स्वतंत्र रूप से, समस्या का अधिक संतोषजनक समाधान उन्नत करता है कि मामूली रूप से निर्धारित कारक पुरस्कार बस कुल उत्पाद को समाप्त कर देगा। इन लेखकों ने माना कि विशिष्ट उत्पादन समारोह पहली डिग्री के सजातीय नहीं था, लेकिन ऐसा था जिसमें यू-आकार के लंबे समय तक चलने वाले औसत लागत वक्र थे।

उन्होंने कहा कि सही प्रतिस्पर्धा के तहत लंबे समय तक चलने वाली यह फर्म लंबे समय तक चलने वाली लागत लागत के न्यूनतम बिंदु पर संतुलन में थी। लंबे समय तक चलने वाले औसत लागत वक्र के न्यूनतम बिंदु पर, रिटर्न टू स्केल को स्थिर रूप से स्थिर रखा जाता है, अर्थात, पैमाने पर रिटर्न आउटपुट के छोटे बदलावों की सीमा के भीतर स्थिर होता है।

इस प्रकार, कुल उत्पाद को समाप्त करने के लिए मामूली रूप से निर्धारित पुरस्कारों के लिए आवश्यक शर्त, जो कि पैमाने पर निरंतर रिटर्न का संचालन है, लंबे समय तक चलने वाले औसत लागत वक्र के न्यूनतम बिंदु पर पूरा किया गया था, जहां एक पूरी तरह से प्रतिस्पर्धी फर्म लंबे समय तक चलती है संतुलन। इस प्रकार पूरी तरह से लंबे समय तक संतुलन के मामले में, यूलर प्रमेय को लागू किया जा सकता है और यदि कारकों को उनके सीमांत उत्पादों के बराबर पुरस्कार दिया जाता है, तो कुल उत्पाद बिल्कुल समाप्त हो जाएगा।

उत्पाद निकास समस्या के लिए हिक्स-सैमुअलसन का समाधान :

Wicksell, Walras और Barone के बाद, JR Hicks और PA Samuelson ने उत्पाद की थकावट की समस्या का अधिक संतोषजनक समाधान प्रदान किया। उनके समाधान में ध्यान देने योग्य मूल बिंदु यह है कि यह लंबे समय में शून्य आर्थिक मुनाफे की अपनी महत्वपूर्ण विशेषता के साथ सही प्रतिस्पर्धा की बाजार की स्थिति है न कि पहला डिग्री-सजातीय उत्पादन कार्य जो सुनिश्चित करता है कि यदि कारकों को उनके बराबर पुरस्कार दिए जाते हैं सीमांत उत्पाद, कुल मूल्य उत्पाद केवल समाप्त हो जाएगा।

पूरी तरह से प्रतिस्पर्धी बाजार संरचना में, फर्म न तो आर्थिक लाभ कमाते हैं और न ही नुकसान उठाते हैं। इस प्रकार प्रतिस्पर्धी कारक बाजारों में काम करने वाली फर्मों के मामले में उत्पाद की थकावट की समस्या का समाधान जहां कारकों को उनके सीमांत उत्पादों के बराबर भुगतान किया जाता है, उत्पाद बाजारों में सही प्रतिस्पर्धा का अस्तित्व लंबे समय में शून्य आर्थिक लाभ सुनिश्चित करेगा। चित्र 32.15 पर विचार करें जहां एक पूरी तरह से प्रतिस्पर्धी फर्म लंबे समय तक औसत लागत के न्यूनतम बिंदु पर लंबे समय तक संतुलन में है, आउटपुट ओपी का उत्पादन स्तर ओपी के मूल्य ओपी पर है।

इस लंबे समय तक संतुलन में फर्म द्वारा उत्पादित कुल मूल्य उत्पाद OPEQ क्षेत्र के बराबर है। चूंकि ओपी इस शुद्ध शून्य लागत के साथ लंबे समय तक चलने वाले आउटपुट पर औसत लागत (एसी) के बराबर है, कुल मूल्य उत्पाद (पीक्यू) कुल लागत (टीसी) के बराबर होगा। इस प्रकार

लंबे समय तक प्रतिस्पर्धी संतुलन में:

कुल मूल्य उत्पाद (PQ) = w.L + Kr… (1)

अब वितरण के सीमांत उत्पादकता सिद्धांत की आवश्यकता है

w = VMP _L = P.MPP _L … (2)

r = VMP _K = P. MPP _K … (3)

जहां डब्ल्यू और आर क्रमशः श्रम और पूंजी की कीमतें हैं और एमपीपी _एल और एमपीपी के क्रमशः श्रम और पूंजी के सीमांत भौतिक उत्पाद हैं और पी उत्पाद की कीमत है।

W और r के मानों को समीकरण में बदलकर (1) हमारे पास है

PQ = L. (P. MPP _L ) + K. (P. MPP _K )

P द्वारा दोनों पक्षों को विभाजित करना हमारे पास है

Q = L.MPP _L + K. MPP _K

यही है, अगर श्रम और पूंजी को उनके सीमांत भौतिक उत्पादों के बराबर भुगतान किया जाता है, तो कुल उत्पादन केवल समाप्त हो जाएगा।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि विक्सस्टीड और विक्सेल, वालरस और बैरन के समाधानों के विपरीत, हिक्स और सैमुएलसन द्वारा सुसज्जित समाधान, पैमाने पर निरंतर रिटर्न (यानी पहले-डिग्री-सजातीय उत्पादन समारोह) के बिना उत्पाद थकावट प्रमेय साबित करता है यूलर प्रमेय का उपयोग किए बिना। वे इसे सही बाजार संरचना की शर्तों को मानकर साबित करते हैं।

हिक्स-सैमुल्सन समाधान की योग्यता यह है कि यह तब प्रकाश डाला जाता है जब सही प्रतिस्पर्धी बाजार की स्थिति पकड़ में नहीं आती है, अर्थात जब उत्पाद बाजार में या तो एकाधिकार या अपूर्ण प्रतिस्पर्धा होती है या कारक बाजार में एकरूपता या अपूर्ण प्रतिस्पर्धा होती है, तो किराए के कारक। अपने सीमांत उत्पादों के मूल्य के बराबर पुरस्कार नहीं मिलते हैं और इसलिए उन उद्यमियों द्वारा शोषण किया जाता है जो बड़े आर्थिक लाभ का आनंद ले सकते हैं।