ची-स्क्वायर टेस्ट: अर्थ, एप्लिकेशन और उपयोग
इस लेख को पढ़ने के बाद आप इसके बारे में जानेंगे: - 1. ची-स्क्वायर टेस्ट का अर्थ 2. ची-स्क्वायर टेस्ट के महत्व का स्तर 3. शून्य परिकल्पना के तहत ची-स्क्वायर टेस्ट 4. वैधता के लिए शर्तें 5. Additive संपत्ति 6. अनुप्रयोग 7. उपयोग।
ची-स्क्वायर टेस्ट का अर्थ:
ची-स्क्वायर () 2 ) परीक्षण प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त परिणामों की तुलना करने की एक उपयोगी विधि का प्रतिनिधित्व करता है, जिन्हें सैद्धांतिक रूप से कुछ परिकल्पना पर उम्मीद की जाती है।
इस प्रकार ची-वर्ग मनाया और अपेक्षित आवृत्तियों के वास्तविक विचलन का एक उपाय है। यह बहुत स्पष्ट है कि इस तरह के एक उपाय का महत्व नमूना अध्ययनों में बहुत महान होगा जहां हमने सिद्धांत और तथ्य के बीच विचलन का अध्ययन करने के लिए अनिवार्य रूप से किया है।
ची-स्क्वायर जैसा कि हमने देखा है कि अपेक्षित और देखी गई आवृत्तियों के बीच विचलन का एक उपाय है और जैसे कि अपेक्षित और देखी गई आवृत्तियों के बीच कोई अंतर नहीं है, ची-वर्ग का मान 0 है।
यदि देखे गए और अपेक्षित आवृत्तियों के बीच अंतर है, तो ची-वर्ग का मान 0. से अधिक होगा। अर्थात, ची-वर्ग जितना बड़ा होगा, अपेक्षित परिणामों से प्रयोगात्मक रूप से देखे जाने वाले वास्तविक विचलन की संभावना अधिक होगी।
यदि ची-वर्ग का परिकलित मान इसकी तालिका मान की तुलना में बहुत छोटा है, तो यह इंगित करता है कि वास्तविक और अपेक्षित आवृत्तियों के बीच विचलन बहुत कम है और परिणामस्वरूप फिट अच्छा है। यदि, दूसरी ओर, ची-वर्ग की गणना का मूल्य उसके तालिका मूल्य की तुलना में बहुत बड़ा है, तो यह इंगित करता है कि अपेक्षित और देखी गई आवृत्तियों के बीच का विचलन बहुत अच्छा है और परिणामस्वरूप फिट खराब है।
ची-वर्ग का मूल्यांकन करने के लिए, हम तालिका ई में ch- वर्ग के गणना मूल्य और स्वतंत्रता की उचित संख्या के साथ दर्ज करते हैं। Df = (r - 1) (c - 1) की संख्या जिसमें r पंक्तियों की संख्या है और c उन स्तंभों की संख्या है जिनमें डेटा सारणीबद्ध है।
इस प्रकार स्वतंत्रता की 2 x 2 तालिका में डिग्री (2 - 1) (2 - 1) या 1. इसी प्रकार 3 x 3 तालिका में, स्वतंत्रता की डिग्री हैं (3 - 1) (3 - 1) या 4 और 3 x में स्वतंत्रता की डिग्री 4 टेबल हैं (3 - 1) (4 - 1) या 6।
ची-स्क्वायर टेस्ट के महत्व के स्तर:
( 2 (ची-वर्ग) की गणना मूल्यों की तुलना तालिका के मूल्यों से की जाती है, यह निष्कर्ष निकालने के लिए कि अपेक्षित उतार-चढ़ाव के बीच अंतर नमूने के उतार-चढ़ाव के कारण होता है और इस तरह के महत्वपूर्ण या क्या अंतर किसी अन्य कारण से और जैसा है ऐसा महत्वपूर्ण है। सिद्धांत और तथ्य का विचलन हमेशा कुछ संभावनाओं के संदर्भ में परीक्षण किया जाता है।
संभाव्यताएं संकेत की सीमा को इंगित करती हैं जिन्हें हम तैयार किए गए निष्कर्ष पर रख सकते हैं। Are 2 के तालिका मूल्य विभिन्न प्रायिकता स्तरों पर उपलब्ध हैं। इन स्तरों को महत्व का स्तर कहा जाता है। आमतौर पर स्वतंत्रता की दी गई डिग्री के लिए। 2 पर .05 और .01 स्तर के महत्व को देखा जाता है।
यदि is 2 की गणना मूल्य सारणीबद्ध मूल्य से अधिक है, तो इसे महत्वपूर्ण कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, मनाया और अपेक्षित आवृत्तियों के बीच विसंगति को मौके के लिए जिम्मेदार नहीं ठहराया जा सकता है और हम अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं।
इस प्रकार हम निष्कर्ष निकालते हैं कि प्रयोग सिद्धांत का समर्थन नहीं करता है। दूसरी ओर, यदि is 2 की गणना मूल्य संबंधित सारणीबद्ध मूल्य से कम है तो इसे महत्व के आवश्यक स्तर पर गैर-महत्वपूर्ण कहा जाता है।
इसका तात्पर्य यह है कि अवलोकन किए गए मूल्यों (प्रयोग) और अपेक्षित मूल्यों (सिद्धांत) के बीच विसंगति को मौका, यानी नमूनाकरण के उतार-चढ़ाव के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है।
शून्य परिकल्पना के तहत ची-स्क्वायर टेस्ट:
मान लीजिए कि हमें कुछ प्रयोग के तहत प्राप्त अवलोकन आवृत्तियों का एक सेट दिया गया है और हम परीक्षण करना चाहते हैं कि क्या प्रयोगात्मक परिणाम किसी विशेष परिकल्पना या सिद्धांत का समर्थन करते हैं। कार्ल पियर्सन ने 1990 में, प्रायोगिक मूल्यों और कुछ सिद्धांत या परिकल्पना के तहत प्राप्त सैद्धांतिक मूल्यों के बीच विसंगति के महत्व के परीक्षण के लिए एक परीक्षण विकसित किया।
इस परीक्षण को -2 -टेस्ट के रूप में जाना जाता है और यह परीक्षण करने के लिए उपयोग किया जाता है कि अवलोकन (प्रयोग) और सिद्धांत के बीच विचलन को संयोग के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है (नमूने के उतार-चढ़ाव) या यदि यह वास्तव में अवलोकन को फिट करने के लिए सिद्धांत की अपर्याप्तता के कारण है। डेटा।
नल परिकल्पना के तहत हम कहते हैं कि मनाया (प्रयोगात्मक) और सैद्धांतिक या काल्पनिक मूल्यों के बीच कोई महत्वपूर्ण अंतर नहीं है, अर्थात, सिद्धांत और प्रयोग के बीच एक अच्छी संगतता है।
ची-वर्ग () 2 ) के लिए समीकरण निम्नानुसार है:
जिसमें f ओ = अवलोकन या प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित तथ्यों की घटना की आवृत्ति
f ई = कुछ परिकल्पना पर घटना की अपेक्षित आवृत्ति।
इस प्रकार ची-वर्ग प्रत्येक मामले में अपेक्षित आवृत्तियों द्वारा देखे गए और अपेक्षित आवृत्तियों के बीच के अंतर के वर्ग को विभाजित करके प्राप्त मूल्यों का योग है। दूसरे शब्दों में, देखे गए और अपेक्षित आवृत्तियों के बीच अंतर को प्रत्येक मामले में अपेक्षित संख्या से विभाजित और विभाजित किया जाता है, और इन उद्धरणों का योग ients 2 है ।
ची-स्क्वायर परीक्षण के कई चित्र ऊपर दी गई चर्चा को स्पष्ट करेंगे। F o और f e के अंतर को हमेशा + ve लिखा जाता है।
1. समान संभाव्यता की परिकल्पना (अशक्त परिकल्पना) पर अपेक्षित परिणामों से प्राप्त परिणामों के विचलन का परीक्षण करना:
उदाहरण 1:
छब्बीस विषयों को "एफ (अनुकूल), मैं (उदासीन) या यू (प्रतिकूल) चिह्नित करके" उच्च शिक्षा के उच्च स्तर के पाठ्यक्रम में एकीकृत किया जाना चाहिए "प्रस्ताव के प्रति अपना दृष्टिकोण व्यक्त करने के लिए कहा जाता है।
यह देखा गया कि 48 ने 'एफ', 24 'आई' और 24 'यू' को चिह्नित किया है:
(i) परीक्षण करें कि क्या देखे गए परिणाम समूह में कोई प्राथमिकता नहीं होने के कारण अपेक्षित परिणाम से काफी भिन्न हैं।
(ii) परिकल्पना का परीक्षण करें कि "समूह में वरीयताओं में कोई अंतर नहीं है"।
(iii) निष्कर्षों की व्याख्या करें।
उपाय:
X 2 की गणना और निष्कर्ष निकालने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन किया जा सकता है:
चरण 1:
कुछ सिद्धांत या परिकल्पना के तहत प्रत्येक मामले में देखे गए आवृत्तियों के अनुरूप अपेक्षित आवृत्तियों (एफ ई ) की गणना करें।
हमारे उदाहरण में सिद्धांत समान संभावना (शून्य परिकल्पना) का है। दूसरी पंक्ति में अशक्त परिकल्पना पर अपेक्षित उत्तर के वितरण को समान रूप से चुना गया है।
चरण 2:
प्रत्येक आवृत्ति के लिए विचलन (f o - f e ) की गणना करें। इनमें से प्रत्येक अंतर को इसके एफ ई (256/32, 64/32 और 64/32) से विभाजित और विभाजित किया गया है।
चरण 3:
गणना करने के लिए इन मानों को जोड़ें:
चरण 4:
तालिका में स्वतंत्रता की डिग्री की गणना सूत्र df = (r - 1) (c - 1) से (3 - 1) (2 - 1) या 2 से की जाती है।
चरण 5:
Of 2 डीएफ के लिए Look 2 की गणना (महत्वपूर्ण) मानों को कुछ निश्चित स्तर पर देखें, आमतौर पर 5% या 1%।
Df = 2 के साथ, .01 स्तर पर महत्वपूर्ण होने के लिए value 2 मान 9.21 (तालिका ई) है। 12> 9.21 का The 2 मान प्राप्त किया।
मैं। इसलिए चिह्नित विचलन महत्वपूर्ण है।
ii। अशक्त परिकल्पना को खारिज कर दिया जाता है।
iii। हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि हमारा समूह वास्तव में प्रस्ताव का पक्षधर है।
हम "समान उत्तर" परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं और निष्कर्ष निकालते हैं कि हमारा समूह प्रस्ताव का पक्षधर है।
उदाहरण 2:
एक निश्चित समुदाय में प्रति सप्ताह ऑटोमोबाइल दुर्घटनाओं की संख्या इस प्रकार थी:
12, 8, 20, 2, 14, 10, 15, 6, 9, 4
क्या इन आवृत्तियों के साथ यह विश्वास है कि इस 10-सप्ताह की अवधि के दौरान दुर्घटना की स्थिति समान थी?
उपाय:
अशक्त परिकल्पना - अशक्त परिकल्पना की स्थापना करें कि दी गई आवृत्तियों (एक निश्चित समुदाय में प्रति सप्ताह दुर्घटनाओं की संख्या) इस विश्वास के अनुरूप हैं कि दुर्घटना की स्थिति 10-सप्ताह की अवधि के दौरान समान थी।
चूंकि 10 सप्ताह में दुर्घटनाओं की कुल संख्या है:
१२ + 15 + २० + २ + १४ + १० + १५ + ६ + ९ + ४ = १००।
अशक्त परिकल्पना के तहत, इन दुर्घटनाओं को समान रूप से 10 सप्ताह की अवधि में वितरित किया जाना चाहिए और इसलिए प्रत्येक 10 सप्ताह के लिए दुर्घटनाओं की अपेक्षित संख्या 100/10 = 10 है।
चूँकि 26 2 = 26.6 की गणना मूल्य सारणीबद्ध मान से अधिक है, 21.666। यह महत्वपूर्ण है और शून्य परिकल्पना को .01 महत्व के स्तर पर खारिज कर दिया गया है। इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 10 सप्ताह की अवधि में दुर्घटना की स्थिति निश्चित रूप से एक समान नहीं होती है।
2. सामान्य वितरण की परिकल्पना पर अपेक्षित परिणामों से प्राप्त परिणामों के विचलन का परीक्षण करना:
परिकल्पना, समान रूप से संभावित होने के बजाय, सामान्य वितरण का पालन कर सकती है। एक उदाहरण दिखाता है कि ची-स्क्वायर द्वारा इस परिकल्पना का परीक्षण कैसे किया जा सकता है।
उदाहरण 3:
बिक्री प्रबंधकों की आम सहमति से दो सौ सेल्समैन को तीन समूहों में वर्गीकृत किया गया है जो बहुत अच्छे, संतोषजनक और खराब हैं।
क्या रेटिंग का यह वितरण उस से काफी भिन्न है जिसकी अपेक्षा की जा सकती है यदि विक्रय क्षमता आम तौर पर हमारी आबादी के सेल्समैन में वितरित की जाती है?
हम इस परिकल्पना को स्थापित करते हैं कि बिक्री की क्षमता सामान्य रूप से वितरित की जाती है। सामान्य वक्र का विस्तार - 3σ से + 3 from तक होता है। यदि विक्रय क्षमता सामान्य रूप से वितरित की जाती है तो आधार रेखा को तीन समान खंडों में विभाजित किया जा सकता है, अर्थात
(+ 1σ से + 3σ), (- 1 + से + 1 and) और (- (3σ से लेकर 1, ) क्रमशः अच्छे, संतोषजनक और घटिया सेल्समैन का प्रतिनिधित्व करते हैं। तालिका A का संदर्भ देने से हम पाते हैं कि 16% मामले + 1 + और + 3σ, 68% के बीच - 1σ और + 1σ और 16% के बीच - 3σ और - 1σ के बीच स्थित हैं। हमारी समस्या के मामले में 200 = 32 का 16% और 200 = 136 का 68% है।
df = 2. P .01 से कम है
गणना की गई = 2 = 72.76
72.76> 9.21 की गणना of 2 । इसलिए पी .01 से कम है।
.˙। मनाया आवृत्तियों और अपेक्षित आवृत्तियों के बीच विसंगति काफी महत्वपूर्ण है। इस आधार पर इस समूह में बिक्री की क्षमता के एक सामान्य वितरण की परिकल्पना को खारिज कर दिया जाना चाहिए। इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि रेटिंग का वितरण अपेक्षा से अलग है।
3. ची-वर्ग परीक्षण जब हमारी उम्मीदें पूर्व निर्धारित परिणामों पर आधारित होती हैं:
उदाहरण 4:
मटर के प्रजनन पर एक प्रयोग में एक शोधकर्ता ने निम्नलिखित आंकड़े प्राप्त किए:
सिद्धांत सेम के अनुपात की भविष्यवाणी करता है, चार समूहों ए, बी, सी और डी में 9: 3: 3: 1 होना चाहिए। 1, 600 सेम के बीच एक प्रयोग में, चार समूहों में संख्या 882, 313, 287 और 118 थी। प्रयोग के परिणाम आनुवंशिक सिद्धांत का समर्थन करते हैं? (.05 के स्तर पर परीक्षण)।
उपाय:
हम अशक्त परिकल्पना स्थापित करते हैं कि प्रयोगात्मक मूल्यों और सिद्धांत के बीच कोई महत्वपूर्ण अंतर नहीं है। दूसरे शब्दों में सिद्धांत और प्रयोग के बीच अच्छा पत्राचार है, यानी सिद्धांत प्रयोग का समर्थन करता है।
4.726 <7.81 के परिकलित the 2 मान के बाद से, यह महत्वपूर्ण नहीं है। इसलिए शून्य परिकल्पना को महत्व के .05 स्तर पर स्वीकार किया जा सकता है और हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि प्रयोगात्मक परिणाम आनुवंशिक सिद्धांत का समर्थन करते हैं।
4. ची-वर्ग परीक्षण जब टेबल प्रविष्टियाँ छोटी होती हैं:
जब तालिका प्रविष्टियां छोटी होती हैं और जब तालिका 2 x 2 गुना होती है, अर्थात, df = 1, is 2 काफी त्रुटि के अधीन होता है जब तक कि निरंतरता के लिए सुधार (येट्स के सुधार कहा जाता है) नहीं किया जाता है।
उदाहरण 5:
चालीस चूहों को दो मार्गों के बीच चयन करने का अवसर प्रदान किया गया। यह पाया गया कि 13 ने प्रकाश वाले मार्गों को चुना (यानी अधिक रोशनी वाले मार्ग) और 27 ने अंधेरे मार्गों को चुना।
(i) परिकल्पना का परीक्षण करें कि रोशनी मार्गों के लिए चूहों की वरीयता में कोई अंतर नहीं करती (टेस्ट .05 स्तर पर)।
(ii) परीक्षण करें कि क्या चूहों की अंधेरे मार्गों की ओर प्राथमिकता है।
उपाय:
यदि रोशनी मार्गों के लिए वरीयता में कोई अंतर नहीं रखती है, यदि H 0 सही है, तो प्रत्येक मार्ग के लिए आनुपातिक वरीयता 1/2 होगी (अर्थात, 20)।
हमारे उदाहरण में हम निम्नलिखित कारण के लिए प्रत्येक (f o - f e ) अंतर से .5 को घटाते हैं:
डेटा निम्नानुसार सारणीबद्ध किया जा सकता है:
जब 2 x 2 गुना तालिका में अपेक्षित प्रविष्टियां हमारी समस्या के समान हैं, तो चि-वर्ग के लिए सूत्र कुछ छोटे रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
(i) .05 स्तर पर) 2 का महत्वपूर्ण मान 3.841 है। 4.22 का प्राप्त of 2 3.841 से अधिक है। इसलिए शून्य परिकल्पना को .05 स्तर पर खारिज कर दिया जाता है। मार्गों के लिए स्पष्ट रूप से प्रकाश या अंधेरा चूहों की पसंद का एक कारक है।
(ii) हमारे उदाहरण में हमें एक-पूंछ वाला परीक्षण करना है। तालिका E में प्रवेश करने पर हम पाते हैं कि 4.22 में से 2 में P = .043 है (प्रक्षेप द्वारा)।
.˙। पी / 2 = .0215 या 2%। दूसरे शब्दों में, 100 में 2 संभावनाएं हैं कि इस तरह का एक विचलन होगा।
इसलिए हम विचलन को 02 स्तर पर महत्वपूर्ण मानते हैं।
इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि चूहों को अंधेरे मार्गों के लिए प्राथमिकता है।
5. आकस्मिक तालिकाओं में स्वतंत्रता का ची-वर्ग परीक्षण:
कभी-कभी हम उन परिस्थितियों का सामना कर सकते हैं, जिनसे हमें यह परखना पड़ता है कि क्या दो चर या विशेषताओं के बीच कोई संबंध (या संबंध) है। दूसरे शब्दों में other 2 को तब बनाया जा सकता है जब हम लक्षणों या विशेषताओं के बीच संबंधों की जांच करना चाहते हैं जिन्हें दो या अधिक श्रेणियों में वर्गीकृत किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, हमें यह परखने की आवश्यकता हो सकती है कि क्या पिता की आंखों का रंग बेटों की आंखों के रंग से जुड़ा है, क्या परिवार की सामाजिक-आर्थिक स्थिति एक वस्तु के विभिन्न ब्रांडों की प्राथमिकता से जुड़ी है, क्या शिक्षा युगल और परिवार के आकार से संबंधित हैं, क्या किसी विशेष टीका का किसी विशेष बीमारी पर नियंत्रण प्रभाव पड़ता है या नहीं।
परीक्षण करने के लिए हम आकस्मिक तालिका के प्रत्येक सेल के लिए f e (अपेक्षित आवृत्ति) की गणना करने के लिए एक आकस्मिक तालिका अंत तैयार करते हैं और फिर सूत्र का उपयोग करके by 2 की गणना करते हैं:
शून्य परिकल्पना:
χ 2 की गणना इस धारणा से की जाती है कि दोनों विशेषताएँ एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं, अर्थात दोनों विशेषताओं के बीच कोई संबंध नहीं है।
सेल की अपेक्षित आवृत्ति की गणना इस प्रकार है:
उदाहरण 6:
2, 000 परिवारों के एक निश्चित नमूने में 1, 400 परिवार चाय के उपभोक्ता हैं जहां 1236 हिंदू परिवार हैं और 164 गैर-हिंदू हैं।
और 600 परिवार चाय के उपभोक्ता नहीं हैं जहां 564 हिंदू परिवार हैं और 36 गैर-हिंदू हैं। Significant 2 का उपयोग करें - परीक्षण करें और बताएं कि क्या हिंदू और गैर-हिंदू परिवारों के बीच चाय की खपत में कोई महत्वपूर्ण अंतर है।
उपाय:
उपरोक्त डेटा 2 x 2 आकस्मिक तालिका के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है जैसा कि नीचे दिया गया है:
हम अशक्त परिकल्पना (H 0 ) की स्थापना करते हैं, जो दो गुणों को दर्शाती है। 'चाय की खपत' और 'समुदाय' स्वतंत्र है। दूसरे शब्दों में, हिंदू और गैर-हिंदू परिवारों के बीच चाय की खपत में कोई महत्वपूर्ण अंतर नहीं है।
, 2 की गणना मूल्य के बाद से, 15.24 महत्व के .01 स्तर पर level 2 के सारणीबद्ध मूल्य से बहुत अधिक है; value 2 का मान अत्यधिक महत्वपूर्ण है और अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार कर दिया गया है।
इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि दो समुदायों (हिंदू और गैर-हिंदू) के बीच चाय की खपत के संबंध में काफी भिन्नता है।
उदाहरण 7:
नीचे दी गई तालिका हैजा की महामारी के दौरान प्राप्त आंकड़ों को दर्शाती है।
हैजा के हमले को रोकने में टीकाकरण की प्रभावशीलता का परीक्षण करें।
उपाय:
हम अशक्त परिकल्पना (H 0 ) की स्थापना करते हैं, जो कि दो विशेषताओं, अर्थात्, हैजा से होने वाले आक्रमण और अनुपस्थिति से संबंधित नहीं हैं। दी गई तालिका में ये दो विशेषताएँ स्वतंत्र हैं।
हमारी परिकल्पना पर आधारित हम निम्न आवृत्तियों की गणना कर सकते हैं:
गणना (एफ ई ):
1 df के लिए for 2 का पांच प्रतिशत मूल्य 3.841 है, जो। 2 की गणना मूल्य से बहुत कम है। तो इस के प्रकाश में, निष्कर्ष स्पष्ट है कि परिकल्पना गलत है और हैजा से आक्रमण और अनुपस्थिति के हमले जुड़े हुए हैं।
ची-स्क्वायर टेस्ट की वैधता के लिए शर्तें:
ची-स्क्वायर टेस्ट स्टेटिस्टिक का उपयोग किया जा सकता है यदि निम्नलिखित स्थितियां संतुष्ट हैं:
1. एन, कुल आवृत्ति, काफी बड़ी होनी चाहिए, 50 से अधिक कहना चाहिए।
2. नमूना अवलोकन स्वतंत्र होना चाहिए। इसका तात्पर्य यह है कि नमूने में किसी भी व्यक्तिगत वस्तु को दो बार या अधिक शामिल नहीं किया जाना चाहिए।
3. सेल आवृत्तियों पर अवरोध, यदि कोई हो, रैखिक होना चाहिए (अर्थात, उन्हें आवृत्तियों के वर्ग और उच्च शक्तियों को शामिल नहीं करना चाहिए) जैसे कि of o = ∑f e = N.
4. कोई सैद्धांतिक आवृत्ति छोटी नहीं होनी चाहिए। छोटा एक सापेक्ष शब्द है। अधिमानतः प्रत्येक सैद्धांतिक आवृत्ति 10 से अधिक होनी चाहिए, लेकिन किसी भी मामले में 5 से कम नहीं।
यदि कोई सैद्धांतिक आवृत्ति 5 से कम है तो हम -2 -टेस्ट को इस तरह लागू नहीं कर सकते हैं। उस मामले में हम "पूलिंग" की तकनीक का उपयोग करते हैं जिसमें आवृत्तियों को जोड़ने में शामिल होते हैं जो पूर्ववर्ती या सफल आवृत्ति (आवृत्तियों) के साथ 5 से कम होते हैं ताकि परिणामी राशि 5 से अधिक हो और तदनुसार स्वतंत्रता की डिग्री के लिए समायोजित करें।
5. दिए गए वितरण को सापेक्ष आवृत्तियों या अनुपात द्वारा प्रतिस्थापित नहीं किया जाना चाहिए, लेकिन डेटा मूल इकाइयों में दिया जाना चाहिए।
6. येट्स के सुधार को विशेष परिस्थितियों में लागू किया जाना चाहिए जब df = 1 (यानी 2 x 2 तालिकाओं में) और जब सेल प्रविष्टियाँ छोटी हों।
7. 7. 2 -अधिकतर को एक गैर-दिशात्मक परीक्षण के रूप में उपयोग किया जाता है (यानी हम दो-पूंछ वाला परीक्षण बनाते हैं)। हालांकि, ऐसे मामले भी हो सकते हैं जब tests 2 परीक्षणों को एक-पूंछ वाले परीक्षण बनाने में नियोजित किया जा सकता है।
एक-पूंछ वाले परीक्षण में हम पी-मूल्य को दोगुना करते हैं। उदाहरण के लिए df = 1 के साथ, 05 स्तर पर 05 2 का महत्वपूर्ण मान 2.706 (2.706, 10 स्तर के नीचे लिखा गया मूल्य) और महत्वपूर्ण मूल्य है; χ 2 पर .01 स्तर 5.412 है (मान .02 स्तर के नीचे लिखा गया है)।
ची-स्क्वायर टेस्ट की Additive संपत्ति:
χ 2 में जोड़ की एक बहुत ही उपयोगी संपत्ति है। यदि एक ही क्षेत्र में कई नमूना अध्ययन किए गए हैं, तो वास्तविक स्थिति के बारे में सटीक विचार प्राप्त करने के लिए परिणामों को एक साथ रखा जा सकता है।
मान लीजिए कि किसी विशेष बीमारी के खिलाफ एक विशेष टीका प्रभावी है या नहीं, इसका परीक्षण करने के लिए दस प्रयोग किए गए हैं। अब यहाँ हमारे पास we 2 के दस अलग-अलग मूल्य और df के दस अलग-अलग मूल्य होंगे।
हम एक मूल्य प्राप्त करने के लिए दस χ 2 जोड़ सकते हैं और इसी तरह df के दस मान भी एक साथ जोड़ सकते हैं। इस प्रकार, हमारे पास and 2 का एक मान और स्वतंत्रता का एक मान होगा। अब हम एक साथ संयुक्त इन सभी दस प्रयोगों के परिणामों का परीक्षण कर सकते हैं और पी के मूल्य का पता लगा सकते हैं।
मान लीजिए कि किसी विशेष क्षेत्र में पाँच स्वतंत्र प्रयोग किए गए हैं। मान लीजिए कि प्रत्येक मामले में एक df था और obtained 2 के निम्नलिखित मान प्राप्त किए गए थे।
अब महत्व के 5% के स्तर पर (या P - .05 के लिए) एक df के लिए मूल्य one 3.8 3.8 है। ऊपर दिए गए given 2 के परिकलित मूल्यों से हम ध्यान देते हैं कि केवल एक सहजता में, प्रयोग नंबर 3 में the 2 का मनाया मूल्य 3.841 के सारणीबद्ध मूल्य से कम है।
इसका मतलब यह है कि अब तक इस प्रयोग से अंतर नगण्य है, लेकिन शेष चार मामलों में 3.8 2 की गणना का मूल्य 3.841 से अधिक है और इस तरह 5% के स्तर पर महत्व और वास्तविक आवृत्तियों के बीच अंतर महत्वपूर्ण है ।
यदि हम add 2 के सभी मूल्यों को जोड़ते हैं जो हमें मिलता है (4.3 + 5.7 + 2.1 + 3.9 + 8.3) या 24.3। स्वतंत्रता की डिग्री का कुल योग 5. यह है कि 5 df के लिए 5 2 की गणना मूल्य 24.3 है।
यदि हम we 2 की तालिका में देखते हैं, तो हम पाएंगे कि 5 df के लिए 5% महत्व के स्तर पर 70 2 का मान 11.070 है। Which 2 की गणना मूल्य जो कि 24.3 है, सारणीबद्ध मूल्य से बहुत अधिक है और जैसे कि हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मनाया और अपेक्षित आवृत्तियों के बीच अंतर महत्वपूर्ण है।
भले ही हम महत्व का 1% स्तर लेते हैं (या पी = .01) is 2 का तालिका मूल्य केवल 15.086 है। इस प्रकार नमूने के उतार-चढ़ाव के परिणामस्वरूप prob 2 के बराबर या 24.3 से अधिक का मान प्राप्त करने की संभावना ।01 से भी कम है या दूसरे शब्दों में अंतर महत्वपूर्ण है।
ची-टेस्ट के आवेदन:
Applications 2- नवीनतम आँकड़ों के अनुप्रयोगों पर चर्चा की जा सकती है:
1. जब हमारी उम्मीदें समान संभाव्यता की परिकल्पना पर आधारित हों, तो अपेक्षित परिणामों से प्राप्त परिणामों के विचलन का परीक्षण करना।
2. ची-वर्ग परीक्षण जब अपेक्षाएं सामान्य वितरण पर आधारित होती हैं।
3. ची-वर्ग परीक्षण जब हमारी उम्मीदें पूर्व निर्धारित परिणामों पर आधारित होती हैं।
4. Cor 2 की गणना में असंतोष या येट्स के सुधार के लिए सुधार।
5. आकस्मिक तालिकाओं में स्वतंत्रता का ची-वर्ग परीक्षण।
ची-स्क्वायर टेस्ट के उपयोग:
1. यद्यपि परीक्षण आवृत्तियों के संदर्भ में आयोजित किया जाता है, इसे अनुपात के बारे में परीक्षण के रूप में वैचारिक रूप से देखा जा सकता है।
2. 2. 2 परीक्षण का उपयोग परिकल्पना के परीक्षण में किया जाता है और अनुमान के लिए उपयोगी नहीं है।
3. ची-स्क्वायर परीक्षण को कई कक्षाओं के साथ जटिल आकस्मिक टेबल पर लागू किया जा सकता है।
4. ची-स्क्वायर टेस्ट में एक बहुत ही उपयोगी संपत्ति है, यानी 'एडिटिव प्रॉपर्टी'। यदि एक ही क्षेत्र में कई नमूना अध्ययन किए जाते हैं, तो परिणाम एक साथ जमा किए जा सकते हैं। इसका मतलब है कि means 2- अंतराल जोड़े जा सकते हैं।
